设f（x）=ex+x3，则方程f（x）=0在（-∞，+∞）上实根的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3

考查要点：本题主要考查利用导数分析函数单调性，结合零点存在定理判断方程实根个数的能力。

解题核心思路：

1. 求导分析单调性：通过求导确定函数在整个定义域内的单调性，若函数严格单调，则最多只有一个零点。
2. 计算特定点函数值：通过代入特定值（如端点、整数点）判断函数值的符号变化，结合零点存在定理确定零点存在区间。
3. 结合单调性与符号变化：若函数严格单调且存在符号变化，则零点唯一。

破题关键点：

• 导数恒正：$f'(x) = e^x + 3x^2 > 0$，说明函数在$\mathbb{R}$上严格递增。
• 端点函数值符号：$f(-1) < 0$，$f(0) > 0$，说明在区间$(-1, 0)$内存在零点。
• 单调性保证唯一性：严格递增函数最多只有一个零点。

步骤1：求导分析单调性

函数$f(x) = e^x + x^3$的导数为：
$f'(x) = e^x + 3x^2$
由于$e^x > 0$对任意$x \in \mathbb{R}$成立，且$3x^2 \geq 0$，因此：
$f'(x) = e^x + 3x^2 > 0$
结论：$f(x)$在$\mathbb{R}$上严格递增。

步骤2：计算特定点函数值

• 当$x = 0$时：
  $f(0) = e^0 + 0^3 = 1 > 0$
• 当$x = -1$时：
  $f(-1) = e^{-1} + (-1)^3 = \frac{1}{e} - 1 \approx -0.632 < 0$

步骤3：应用零点存在定理

由于$f(x)$在$(-1, 0)$上连续，且$f(-1) < 0$，$f(0) > 0$，根据零点存在定理，至少存在一个零点在区间$(-1, 0)$内。

步骤4：结合单调性确定唯一性

因$f(x)$严格递增，故在整个定义域内至多有一个零点。结合步骤3的结论，唯一零点位于$(-1, 0)$。