题目
设f(x)在区间[a, b]上连续, 且f(x)>0, (x)=(int )_(a)^xf(t)dt+(int )_(b)^xdfrac (dt)(f(t)), x∈[a, b]. 证明: (1)F ′(x)≥2; (2)方程F(x)=0在区间(a, b)内有且仅有一个根.
设f(x)在区间[a, b]上连续, 且f(x)>0, 
, x∈[a, b]. 证明:
(1)F ′(x)≥2;
(2)方程F(x)=0在区间(a, b)内有且仅有一个根.
题目解答
答案
证明 (1)
.
(2)因为f(x)>0, a<b, 所以
, 
,
由介值定理知F(x)=0在(a, b)内有根. 又F′′(x)≥2, 所以在(a, b)内仅有一个根.