lim _(x arrow 1)((1)/(x-1)-(3)/(x^2-1))=

我们要求的极限是：

$\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{3}{x^2 - 1} \right)$

第一步：观察分母

注意到 $ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $，因此我们可以尝试通分，将两个分数合并为一个分数。

第二步：通分

将两个分数合并：

$\frac{1}{x - 1} - \frac{3}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{(x + 1) - 3}{(x - 1)(x + 1)}$

解释：第一个分数的分子乘以 $ x + 1 $，第二个分数已经有一个 $ (x - 1)(x + 1) $ 的分母，所以分子是 $ 3 $。

第三步：化简分子

$(x + 1) - 3 = x - 2$

所以整个表达式变为：

$\frac{x - 2}{(x - 1)(x + 1)}$

第四步：求极限

我们要求的是：

$\lim_{x \to 1} \frac{x - 2}{(x - 1)(x + 1)}$

代入 $ x = 1 $：

• 分子：$ x - 2 = 1 - 2 = -1 $
• 分母：$ (x - 1)(x + 1) = (1 - 1)(1 + 1) = 0 \cdot 2 = 0 $

所以这是一个 0/0 型极限，不能直接代入。

第五步：洛必达法则（L’Hospital’s Rule）

由于是 $ \frac{0}{0} $ 型，可以使用洛必达法则，对分子和分母分别求导：

• 分子导数：$ \frac{d}{dx}(x - 2) = 1 $
• 分母导数：$ \frac{d}{dx}[(x - 1)(x + 1)] = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x $

所以极限变为：

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$

✅ 最终答案：

$\boxed{\frac{1}{2}}$