7.（9.0分）求曲面x^2+2y^2+3z^2=36在点（1，2，3）处的切平面和法线方程.

本题考查曲面的切平面和法线方程的求解，解题的关键在于先求出曲面在给定点处的法向量，再利用点法式方程求切平面方程，利用点向式方程求法线方程。

1. 求法向量：
   • 设$F(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 36$。
   • 根据求偏导数公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，分别对$F(x,y,z)$求关于$x$、$y$、$z$的偏导数：
     • $F_x=\frac{\partial F}{\partial x}=2x$；
     • $F_y=\frac{\partial F}{\partial y}=4y$；
     • $F_z=\frac{\partial F}{\partial z}=6z$。
   • 将点$(1, 2, 3)$代入偏导数中，得到法向量$\nabla F(1, 2, 3)$：
     • $F_x(1,2,3)=2\times1 = 2$；
     • $F_y(1,2,3)=4\times2 = 8$；
     • $F_z(1,2,3)=6\times3 = 18$。
   • 所以，曲面在点$(1, 2, 3)$处的法向量为$\nabla F(1, 2, 3) = (2, 8, 18)$。
2. 求切平面方程：
   • 点法式方程的一般形式为$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$，其中$(x_0,y_0,z_0)$为平面上一点，$(A,B,C)$为平面的法向量。
   • 已知点$(1, 2, 3)$，法向量$(2, 8, 18)$，代入点法式方程可得：
     $2(x - 1) + 8(y - 2) + 18(z - 3) = 0$。
   • 展开括号得：$2x - 2 + 8y - 16 + 18z - 54 = 0$。
   • 合并同类项得：$2x + 8y + 18z - 72 = 0$。
   • 两边同时除以$2$化简得：$x + 4y + 9z = 36$。
3. 求法线方程：
   • 点向式方程的一般形式为$\frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}$，其中$(x_0,y_0,z_0)$为直线上一点，$(m,n,p)$为直线的方向向量。
   • 已知点$(1, 2, 3)$，法向量$(2, 8, 18)$可作为法线的方向向量，代入点向式方程可得：
     $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{8} = \frac{z - 3}{18}$。
   • 因为$2$、$8$、$18$有最大公约数$2$，两边同时除以$2$化简得：$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{9}$。