题目
求微分方程 ''-4y'+13y=0 的通解.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求特征方程
给定的微分方程是 $y''-4y'+13y=0$。这是一个二阶常系数齐次线性微分方程。我们首先求解其特征方程，即 $r^2 - 4r + 13 = 0$。
步骤 2：求解特征方程
使用求根公式 $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a=1$，$b=-4$，$c=13$，代入得：
$r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i$。
因此，特征方程的根为 $r_1 = 2 + 3i$ 和 $r_2 = 2 - 3i$。
步骤 3：写出通解
由于特征方程的根是共轭复数，根据二阶常系数齐次线性微分方程的解的理论，其通解形式为 $y = e^{ax}(C_1\cos(bx) + C_2\sin(bx))$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是复数根的实部和虚部。因此，所求微分方程的通解为 $y = e^{2x}(C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x))$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。
给定的微分方程是 $y''-4y'+13y=0$。这是一个二阶常系数齐次线性微分方程。我们首先求解其特征方程，即 $r^2 - 4r + 13 = 0$。
步骤 2：求解特征方程
使用求根公式 $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a=1$，$b=-4$，$c=13$，代入得：
$r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i$。
因此，特征方程的根为 $r_1 = 2 + 3i$ 和 $r_2 = 2 - 3i$。
步骤 3：写出通解
由于特征方程的根是共轭复数，根据二阶常系数齐次线性微分方程的解的理论，其通解形式为 $y = e^{ax}(C_1\cos(bx) + C_2\sin(bx))$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是复数根的实部和虚部。因此，所求微分方程的通解为 $y = e^{2x}(C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x))$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。