1.设随机变量Y的密度函数为 (x)= ) (e)^-y,ygt 0 0,yleqslant 0 . (k=1,-|||-2),求X1和X2的联合分布律,并判断X1和X2是否相互独立.

考查要点：本题主要考查随机变量的函数分布及独立性的判断。需要掌握如何根据原随机变量的分布，推导出新随机变量的联合分布律，并通过边缘分布与联合分布的关系判断独立性。

解题核心思路：

1. 确定X₁和X₂的可能取值：根据Y的不同区间，X₁和X₂分别取2或3。
2. 分析联合取值的可能性：结合Y的取值范围，判断X₁和X₂的组合是否可能。
3. 计算联合概率：通过Y的密度函数计算各组合的概率。
4. 判断独立性：验证联合概率是否等于边缘概率的乘积。

破题关键点：

• 明确X₁和X₂的定义：X₁的分界点k=1，X₂的分界点k=2。
• 注意Y的连续性：Y的分布是指数分布，需通过积分计算概率。
• 独立性条件：若所有联合概率等于边缘概率乘积，则独立，否则不独立。

步骤1：确定X₁和X₂的可能取值

• X₁的取值：当Y ≤ 1时，X₁ = 2；当Y > 1时，X₁ = 3。
• X₂的取值：当Y ≤ 2时，X₂ = 2；当Y > 2时，X₂ = 3。

步骤2：分析联合取值的可能性

• (X₁=2, X₂=2)：当Y ≤ 1时，必然满足Y ≤ 2，因此该组合成立。
• (X₁=3, X₂=2)：当Y ∈ (1, 2]时，X₁=3且X₂=2。
• (X₁=3, X₂=3)：当Y > 2时，X₁=3且X₂=3。
• (X₁=2, X₂=3)：不可能，因为Y ≤ 1时，X₂必定为2。

步骤3：计算联合概率

1. P(X₁=2, X₂=2)：
   $P(Y \leq 1) = \int_{0}^{1} e^{-y} dy = 1 - e^{-1}.$

2. P(X₁=3, X₂=2)：
   $P(1 < Y \leq 2) = \int_{1}^{2} e^{-y} dy = e^{-1} - e^{-2}.$

3. P(X₁=3, X₂=3)：
   $P(Y > 2) = \int_{2}^{\infty} e^{-y} dy = e^{-2}.$

4. P(X₁=2, X₂=3)：
   $P(\text{不可能}) = 0.$

步骤4：判断独立性

• 边缘概率：

  • $P(X₁=2) = 1 - e^{-1}$，$P(X₁=3) = e^{-1}$，
  • $P(X₂=2) = 1 - e^{-2}$，$P(X₂=3) = e^{-2}$。

• 验证独立性：

  • 若独立，则 $P(X₁=3, X₂=3) = P(X₁=3) \cdot P(X₂=3) = e^{-1} \cdot e^{-2} = e^{-3}$。
  • 实际计算得 $P(X₁=3, X₂=3) = e^{-2} \neq e^{-3}$，因此不独立。