[例3] 设可导函数 y=y(x) 由方程 sin x-(int )_(x)^yvarphi (u)du=0 确定,其中可导函数-|||-varphi (u)gt 0, 且 varphi (0)=varphi '(0)=1, 求y"(0),

考查要点：本题主要考查隐函数求导、变上限积分求导法则以及高阶导数的计算。关键在于正确应用莱布尼茨积分法则，并处理复合函数求导中的链式法则。

解题思路：

1. 确定初始条件：通过代入$x=0$，结合$\varphi(u) > 0$的性质，得出$y(0)=0$。
2. 一阶导数求解：对原方程两边关于$x$求导，利用莱布尼茨法则处理积分项，代入初始条件求出$y'(0)$。
3. 二阶导数求解：对一阶导数的方程再次求导，注意乘积法则和链式法则的应用，代入已知条件求出$y''(0)$。

破题关键：正确处理积分上下限为变量时的求导，以及高阶导数中复合函数的导数展开。

步骤1：确定初始条件$y(0)$

将$x=0$代入原方程$\sin x - \int_{x}^{y} \varphi(u) \, du = 0$，得：
$\sin 0 - \int_{0}^{y} \varphi(u) \, du = 0 \implies \int_{0}^{y} \varphi(u) \, du = 0.$
由于$\varphi(u) > 0$，积分结果为$0$当且仅当积分区间长度为$0$，即$y=0$。因此：
$y(0) = 0.$

步骤2：求一阶导数$y'(0)$

对原方程两边关于$x$求导：
$\cos x - \left[ \varphi(y) \cdot y' - \varphi(x) \right] = 0.$
将$x=0$，$y=0$代入，并利用$\varphi(0)=1$，得：
$\cos 0 - \left[ \varphi(0) \cdot y'(0) - \varphi(0) \right] = 0 \implies 1 - \left[ 1 \cdot y'(0) - 1 \right] = 0 \implies y'(0) = 2.$

步骤3：求二阶导数$y''(0)$

对一阶导数的方程再次求导：
$-\sin x - \left[ \varphi'(y) \cdot (y')^2 + \varphi(y) \cdot y'' - \varphi'(x) \right] = 0.$
将$x=0$，$y=0$，$y'=2$代入，并利用$\varphi(0)=1$，$\varphi'(0)=1$，得：
$-\sin 0 - \left[ 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot y''(0) - 1 \right] = 0 \implies - \left[ 4 + y''(0) - 1 \right] = 0 \implies y''(0) = -3.$