12.试用向量证明不等式:-|||-sqrt ({{a)_(1)}^2+({a)_(2)}^2+({a)_(3)}^2}sqrt ({{b)_(1)}^2+({b)_(2)}^2+({b)_(3)}^2}geqslant (a)_(1)(b)_,-|||-其中a1、a2、a3、b1、b2 b3为任意实数.并指出等号成立的条件.

本题考查柯西-施瓦茨不等式的应用，通过向量的点积与模长的关系证明不等式。核心思路是将不等式两边分别对应向量的模长乘积和点积的绝对值，直接应用柯西-施瓦茨不等式即可。关键点在于理解等号成立的条件，即两向量共线（线性相关）。

步骤1：定义向量

设向量 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$。

步骤2：计算点积与模长

• 点积：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$。
• 模长：$|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$，$|\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}$。

步骤3：应用柯西-施瓦茨不等式

根据柯西-施瓦茨不等式：
$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|$
即：
$\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} \geq |a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3|$

步骤4：等号成立条件

当且仅当 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线（线性相关），即存在实数 $k$ 使得 $\mathbf{a} = k\mathbf{b}$ 或 $\mathbf{b} = k\mathbf{a}$，此时两向量夹角为 $0^\circ$ 或 $180^\circ$，$\cos\theta = \pm 1$。