15.21 波长 lambda =500mm 的平行光,垂直地入射于一宽度为 a=1.0mm 的单缝上,若在缝-|||-的后面有一焦距为 f=100cm 的凸透镜,使光线聚焦于屏上,试问从衍射图样的中心到下列-|||-各点的距离如何?(1)第一级极小;(2)第一级亮条纹的极大处;(3)第三级极小.

本题考查单缝衍射的规律应用，需掌握衍射极小和极大条件，并结合透镜成像公式计算位置。关键点：

1. 极小条件：$a \sin \varphi = k\lambda$（$k=1,2,3,\dots$）
2. 极大条件：$a \sin \varphi = (2k+1)\dfrac{\lambda}{2}$（$k=0,1,2,\dots$）
3. 近轴近似下，位置关系：$x = f \tan \varphi \approx f \sin \varphi$

（1）第一级极小

极小条件：$a \sin \varphi = k\lambda$
取$k=1$，代入$a=1.0\ \text{mm}=1.0 \times 10^{-3}\ \text{m}$，$\lambda=500\ \text{nm}=500 \times 10^{-9}\ \text{m}$：
$\sin \varphi = \frac{\lambda}{a} = \frac{500 \times 10^{-9}}{1.0 \times 10^{-3}} = 5 \times 10^{-4}$
位置计算：
$x_1 = f \sin \varphi = 100\ \text{cm} \times 5 \times 10^{-4} = 0.05\ \text{cm} = 5 \times 10^{-2}\ \text{cm}$

（2）第一级极大

极大条件：$a \sin \varphi = (2k+1)\dfrac{\lambda}{2}$
取$k=1$（对应第一级极大）：
$\sin \varphi = \frac{3\lambda}{2a} = \frac{3 \times 500 \times 10^{-9}}{2 \times 1.0 \times 10^{-3}} = 7.5 \times 10^{-4}$
位置计算：
$x_2 = f \sin \varphi = 100\ \text{cm} \times 7.5 \times 10^{-4} = 0.075\ \text{cm} = 7.5 \times 10^{-2}\ \text{cm}$

（3）第三级极小

极小条件：$a \sin \varphi = k\lambda$
取$k=3$：
$\sin \varphi = \frac{3\lambda}{a} = \frac{3 \times 500 \times 10^{-9}}{1.0 \times 10^{-3}} = 1.5 \times 10^{-3}$
位置计算：
$x_3 = f \sin \varphi = 100\ \text{cm} \times 1.5 \times 10^{-3} = 0.15\ \text{cm} = 1.5 \times 10^{-1}\ \text{cm}$