题目
袋中有N个球，其中白球数X是随机变量，且知其数学期望E(X)=n(nleq N)，方差D(X)=(sigma )^2今从袋中一次摸两个球，求这两个球恰有一白球的概率.
袋中有$N$个球，其中白球数$X$是随机变量，且知其数学期望$E(X)=n(n\leq N)$，方差$D(X)={\sigma }^{2}$
今从袋中一次摸两个球，求这两个球恰有一白球的概率.
题目解答
答案
【答案】
$\dfrac{2\left(n-{\sigma }^{2}\right){\sigma }^{2}}{{n}^{2}}$
【解析】
设从袋中任意摸出一个小球为白球的概率为$p$，
由题意，$X\sim B\left(N,p\right)$,
则$\left\{\begin{array}{l}E\left(X\right)=n=Np\\ D\left(X\right)={\sigma }^{2}=Np\left(1-p\right)\end{array}\right.$,解得$p=1-\dfrac{{\sigma }^{2}}{n}$.
则从袋中一次摸两个球，求这两个球恰有一白球的概率为${C}_{2}^{1}p\left(1-p\right)=2\left(1-\dfrac{{\sigma }^{2}}{n}\right)\cdot \dfrac{{\sigma }^{2}}{n}=\dfrac{2\left(n-{\sigma }^{2}\right){\sigma }^{2}}{{n}^{2}}$.
解析
步骤 1：确定随机变量$X$的分布
根据题目，$X$是随机变量，表示袋中白球的数量，且$X$的数学期望$E(X)=n$，方差$D(X)={\sigma }^{2}$。由于$X$的数学期望和方差已知，可以假设$X$服从二项分布$B(N,p)$，其中$N$是总球数，$p$是任意摸出一个小球为白球的概率。
步骤 2：求解$p$
由二项分布的性质，$E(X)=Np$，$D(X)=Np(1-p)$。根据题目条件，$E(X)=n$，$D(X)={\sigma }^{2}$，可以得到方程组：
$$\left\{\begin{array}{l}E\left(X\right)=n=Np\\ D\left(X\right)={\sigma }^{2}=Np\left(1-p\right)\end{array}\right.$$
解这个方程组，得到$p=1-\dfrac{{\sigma }^{2}}{n}$。
步骤 3：计算两个球恰有一白球的概率
从袋中一次摸两个球，求这两个球恰有一白球的概率，可以表示为${C}_{2}^{1}p(1-p)$，即从两个球中选择一个白球的概率乘以另一个球不是白球的概率。将$p=1-\dfrac{{\sigma }^{2}}{n}$代入，得到：
$${C}_{2}^{1}p(1-p)=2\left(1-\dfrac{{\sigma }^{2}}{n}\right)\cdot \dfrac{{\sigma }^{2}}{n}=\dfrac{2\left(n-{\sigma }^{2}\right){\sigma }^{2}}{{n}^{2}}$$
根据题目，$X$是随机变量，表示袋中白球的数量，且$X$的数学期望$E(X)=n$，方差$D(X)={\sigma }^{2}$。由于$X$的数学期望和方差已知，可以假设$X$服从二项分布$B(N,p)$，其中$N$是总球数，$p$是任意摸出一个小球为白球的概率。
步骤 2：求解$p$
由二项分布的性质，$E(X)=Np$，$D(X)=Np(1-p)$。根据题目条件，$E(X)=n$，$D(X)={\sigma }^{2}$，可以得到方程组：
$$\left\{\begin{array}{l}E\left(X\right)=n=Np\\ D\left(X\right)={\sigma }^{2}=Np\left(1-p\right)\end{array}\right.$$
解这个方程组，得到$p=1-\dfrac{{\sigma }^{2}}{n}$。
步骤 3：计算两个球恰有一白球的概率
从袋中一次摸两个球，求这两个球恰有一白球的概率，可以表示为${C}_{2}^{1}p(1-p)$，即从两个球中选择一个白球的概率乘以另一个球不是白球的概率。将$p=1-\dfrac{{\sigma }^{2}}{n}$代入，得到：
$${C}_{2}^{1}p(1-p)=2\left(1-\dfrac{{\sigma }^{2}}{n}\right)\cdot \dfrac{{\sigma }^{2}}{n}=\dfrac{2\left(n-{\sigma }^{2}\right){\sigma }^{2}}{{n}^{2}}$$