设A是3阶实对称矩阵，存在可逆矩阵P，使得P-1AP=diag(1，2，-1)，且α1=(1，k+1，2)T，α2=(k-1，-k，1)T分别为A的特征值λ1=1，λ2=2的特征向量，A*的特征值λ0对应的特征向量β=(2，-5k，2k+1)T． (Ⅰ)求k与λ0的值； (Ⅱ)求A*．

(Ⅰ)设λ₃=-1对应的特征向量为α₃=(x₁，x₂，x₃)^T，由A是实对称矩阵，知α₁，α₂，α₃两两正交，故
   
   由①解得k=1或k=-1．
   当k=1时，由②，③解得α₃=(-4，1，1)^T，且
   α₁=(1，2，2)^T，α₂=(0，-1，1)^T，β=(2，-5，3)^T，
   又由已知，
   A^*β=λ₀β，    ④
   ④式左乘A得，
   AA^*β=λ₀Aβ，
   |A|β=λ₀Aβ，
   即
   ，
   故β应是A的特征向量，但β与A的特征向量α₁，α₂，α₃任一个都不共线，即β不是A的特征向量，所以，k=1不合题意，舍去．
   当k=-1时，α₁=(1，0，2)^T，且
   α₂=(-2，1，1)^T，α₃=(-2，-5，1)^T，β=(2，5，-1)^T，
   故
   Aα₃=λ₃α₃=-α₃，    ⑤
   ⑤式左乘A^*，得A^*Aα₃=-A^*α₃，即|A|α₃=-A^*α₃．又
   α₃=-β，|A|=-2，
   故
   -2·(-β)=-A^*(-β)，
   即
   A^*β=2β，
   所以
   λ₀=2，k=-1．
   (Ⅱ)
   故．
   【注】当k=1时，，即β可由A的特征向量线性表示，但不同特征向量的线性组合不是特征向量．