29.证明若A是正交矩阵,则 ^T=(A)^-1 也是正交矩阵,并且 |A|=pm 1.

正交矩阵的定义是其转置等于其逆矩阵，即满足$A^T A = E$。本题需要证明两个结论：

1. $A^T = A^{-1}$：直接由正交矩阵的定义可得，关键在于理解正交矩阵的逆矩阵与其转置的关系。
2. $|A| = \pm 1$：通过行列式的性质，结合正交矩阵的定义，推导出行列式的平方为1，从而得到结果。

证明$A^T = A^{-1}$

根据正交矩阵的定义，有：
$A^T A = E$
而矩阵的逆矩阵定义为：
$A^{-1} A = E$
比较两式可知，$A^T$满足逆矩阵的定义，因此：
$A^T = A^{-1}$

证明$|A| = \pm 1$

1. 取行列式：对等式$A^T A = E$两边取行列式：
   $|A^T| \cdot |A| = |E|$
2. 行列式的性质：
   • 单位矩阵的行列式$|E| = 1$；
   • 转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式，即$|A^T| = |A|$。
3. 代入化简：
   $|A| \cdot |A| = 1 \quad \Rightarrow \quad |A|^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad |A| = \pm 1$