题目

袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为 _______。A. (5)/(C_8^4)B. (3)/(8)C. ((3)/(8))^3 (1)/(8)D. C_8^4 ((3)/(8))^3 (1)/(8)

袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为 _______。 A. $\frac{5}{C_8^4}$ B. $\frac{3}{8}$ C. $\left(\frac{3}{8}\right)^3 \frac{1}{8}$ D. $C_8^4 \left(\frac{3}{8}\right)^3 \frac{1}{8}$

题目解答

答案

我们来一步一步地分析和解决这道概率题。

题目回顾：

袋中有 5个黑球，3个白球，总共 8个球，从中 一次随机摸出4个球，求 恰好有3个白球 的概率。

第一步：理解题意

我们要从8个球中随机摸出4个球，求其中 恰好有3个白球 的概率。

第二步：确定总的可能情况数

从8个球中随机取出4个球，总的可能情况数是：

$C_8^4 = \binom{8}{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

第三步：计算有利情况数（即恰好有3个白球）

我们要从3个白球中选出3个，从5个黑球中选出1个：

  • 选3个白球的方式数：$ C_3^3 = 1 $
  • 选1个黑球的方式数：$ C_5^1 = 5 $

所以有利情况数为：

$C_3^3 \cdot C_5^1 = 1 \cdot 5 = 5$

第四步：计算概率

概率 = 有利情况数 / 总情况数：

$P = \frac{5}{C_8^4} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14}$

第五步：与选项对比

我们来分析各个选项：

  • A. $ \frac{5}{C_8^4} $：正确，符合我们计算的表达式。
  • B. $ \frac{3}{8} $：错误，这是单次抽球抽到白球的概率，不是从4个球中抽3个白球的概率。
  • C. $ \left(\frac{3}{8}\right)^3 \cdot \frac{1}{8} $：这是某种独立重复试验的概率，不适用于本题（因为本题是不放回抽球）。
  • D. $ C_8^4 \left(\frac{3}{8}\right)^3 \cdot \frac{1}{8} $：这个表达式也没有意义，不符合组合概率的计算方式。

最终答案：

$\boxed{\text{A. } \frac{5}{C_8^4}}$

解析

考查要点：本题主要考查组合概率的计算，涉及超几何分布的应用。
解题思路：

  1. 确定总的基本事件数：从8个球中任选4个的组合数。
  2. 确定有利事件数：从3个白球中选3个，从5个黑球中选1个的组合数乘积。
  3. 计算概率：有利事件数除以总事件数。
    关键点：明确题目是无放回抽样，需用组合数计算，而非独立事件概率相乘。

步骤1：计算总事件数

从8个球中任选4个的组合数为：
$C_8^4 = \frac{8!}{4! \cdot (8-4)!} = 70$

步骤2：计算有利事件数

  • 选3个白球：从3个白球中选3个，方式为 $C_3^3 = 1$。
  • 选1个黑球：从5个黑球中选1个，方式为 $C_5^1 = 5$。
  • 总有利事件数：
    $C_3^3 \cdot C_5^1 = 1 \cdot 5 = 5$

步骤3：计算概率

概率为有利事件数与总事件数的比值：
$P = \frac{5}{C_8^4} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14}$

步骤4：选项分析

  • A选项：$\frac{5}{C_8^4}$，正确对应计算结果。
  • B选项：$\frac{3}{8}$，错误，混淆了单次抽球概率。
  • C、D选项：错误，误用独立重复试验公式（如二项分布），但本题为无放回抽样。