题目
综合题(本题满分18分,每小问6分)若x (n)= (3,2,1,2,1,2 ),0≤n≤5,1) 求序列x(n)的6点DFT,X (k)=?2) 若(k)=DFI[ g(n)] =({W)_(6)}^2kX(k),试确定6点序列g(n)=?3) 若y(n) =x(n)⑨x(n),求y(n)=?
综合题(本题满分18分,每小问6分)
若x (n)= {3,2,1,2,1,2 },0≤n≤5,
1) 求序列x(n)的6点DFT,X (k)=?
2) 若
,试确定6点序列g(n)=?
,试确定6点序列g(n)=?3) 若y(n) =x(n)⑨x(n),求y(n)=?
题目解答
答案
1) 
2) 
3) 
解析
步骤 1：求序列x(n)的6点DFT
根据离散傅里叶变换（DFT）的定义，对于一个长度为N的序列x(n)，其DFT为：
\[ X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) W_N^{nk} \]
其中，$W_N = e^{-j\frac{2\pi}{N}}$，是N点DFT的基本旋转因子。对于本题，N=6，所以$W_6 = e^{-j\frac{2\pi}{6}}$。将x(n)代入上述公式，计算X(k)。
步骤 2：确定6点序列g(n)
根据题目给出的$G(k) = W_6^{2k}X(k)$，可以反向求出g(n)。根据离散傅里叶逆变换（IDFT）的定义，有：
\[ g(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} G(k) W_N^{-nk} \]
将$G(k)$代入上述公式，计算g(n)。
步骤 3：求y(n) = x(n)⑨x(n)
根据卷积定理，两个序列的卷积的DFT等于它们DFT的乘积。因此，y(n)的DFT为$Y(k) = X(k)X(k)$。然后，通过IDFT求出y(n)。
\[ y(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} Y(k) W_N^{-nk} \]
根据离散傅里叶变换（DFT）的定义，对于一个长度为N的序列x(n)，其DFT为：
\[ X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) W_N^{nk} \]
其中，$W_N = e^{-j\frac{2\pi}{N}}$，是N点DFT的基本旋转因子。对于本题，N=6，所以$W_6 = e^{-j\frac{2\pi}{6}}$。将x(n)代入上述公式，计算X(k)。
步骤 2：确定6点序列g(n)
根据题目给出的$G(k) = W_6^{2k}X(k)$，可以反向求出g(n)。根据离散傅里叶逆变换（IDFT）的定义，有：
\[ g(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} G(k) W_N^{-nk} \]
将$G(k)$代入上述公式，计算g(n)。
步骤 3：求y(n) = x(n)⑨x(n)
根据卷积定理，两个序列的卷积的DFT等于它们DFT的乘积。因此，y(n)的DFT为$Y(k) = X(k)X(k)$。然后，通过IDFT求出y(n)。
\[ y(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} Y(k) W_N^{-nk} \]