int arcsin x , dx = ( )A. x arcsin x - sqrt(1 - x^2) + CB. x arcsin x + sqrt(1 - x^2) + CC. x arcsin x - 2sqrt(1 - x^2) + CD. x arcsin x + 2sqrt(1 - x^2) + C

步骤 1：使用分部积分法
分部积分法的公式为 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。这里，我们选择 $u = \arcsin x$ 和 $dv = dx$，则 $du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$ 和 $v = x$。
步骤 2：应用分部积分法
将 $u$ 和 $v$ 代入分部积分法的公式中，得到 $\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$。
步骤 3：计算剩余积分
为了计算 $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$，我们使用代换法。设 $t = 1 - x^2$，则 $dt = -2x \, dx$，从而 $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C$。
步骤 4：组合结果
将步骤 3 的结果代入步骤 2 的结果中，得到 $\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x - (-\sqrt{1 - x^2}) + C = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$。