题目
22.设3阶对称矩阵A的特征值为 (lambda )_(1)=1, (lambda )_(2)=-1 (lambda )_(3)=0, 对应λ1,λ2的特征向量依次为-|||-(1) 2)-|||-p1= 2 p2= 1-|||-2 -2
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定特征向量
已知特征值 ${\lambda }_{1}=1$ 和 ${\lambda }_{2}=-1$ 的特征向量分别为 $p_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ 和 $p_{2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$。由于矩阵A是对称矩阵，其特征向量是正交的，因此我们可以利用这两个特征向量来构造矩阵A。
步骤 2：构造特征向量矩阵
构造特征向量矩阵P，其列向量为特征向量 $p_{1}$ 和 $p_{2}$，以及第三个特征向量 $p_{3}$。由于特征值 ${\lambda }_{3}=0$，对应的特征向量 $p_{3}$ 可以通过正交化得到。由于 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ 已经正交，我们可以直接计算 $p_{3}$ 为 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ 的叉积，即 $p_{3}=p_{1}\times p_{2}$。计算得到 $p_{3}=\begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$。因此，特征向量矩阵P为 $P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 8 \\ 2 & 2 & -4 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}$。
步骤 3：计算矩阵A
根据特征值和特征向量，可以构造对角矩阵 $\Lambda$，其对角线元素为特征值 ${\lambda }_{1}$, ${\lambda }_{2}$ 和 ${\lambda }_{3}$。即 $\Lambda=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。根据特征值分解公式，有 $A=P\Lambda P^{-1}$。计算得到 $P^{-1}=\begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & -1/3 \\ 1/3 & -1/3 & 0 \end{pmatrix}$。因此，矩阵A为 $A=\begin{pmatrix} -1/3 & 0 & 2/3 \\ 0 & 1/3 & 2/3 \\ 2/3 & 2/3 & 0 \end{pmatrix}$。
已知特征值 ${\lambda }_{1}=1$ 和 ${\lambda }_{2}=-1$ 的特征向量分别为 $p_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ 和 $p_{2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$。由于矩阵A是对称矩阵，其特征向量是正交的，因此我们可以利用这两个特征向量来构造矩阵A。
步骤 2：构造特征向量矩阵
构造特征向量矩阵P，其列向量为特征向量 $p_{1}$ 和 $p_{2}$，以及第三个特征向量 $p_{3}$。由于特征值 ${\lambda }_{3}=0$，对应的特征向量 $p_{3}$ 可以通过正交化得到。由于 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ 已经正交，我们可以直接计算 $p_{3}$ 为 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ 的叉积，即 $p_{3}=p_{1}\times p_{2}$。计算得到 $p_{3}=\begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$。因此，特征向量矩阵P为 $P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 8 \\ 2 & 2 & -4 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}$。
步骤 3：计算矩阵A
根据特征值和特征向量，可以构造对角矩阵 $\Lambda$，其对角线元素为特征值 ${\lambda }_{1}$, ${\lambda }_{2}$ 和 ${\lambda }_{3}$。即 $\Lambda=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。根据特征值分解公式，有 $A=P\Lambda P^{-1}$。计算得到 $P^{-1}=\begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & -1/3 \\ 1/3 & -1/3 & 0 \end{pmatrix}$。因此，矩阵A为 $A=\begin{pmatrix} -1/3 & 0 & 2/3 \\ 0 & 1/3 & 2/3 \\ 2/3 & 2/3 & 0 \end{pmatrix}$。