求下列排列的逆序数：(1) 4132；(2) 361524；(3) 13...(2n-1)(2n)(2n-2)...2.

本题主要考查排列逆序数的计算。逆序数是指在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。解题思路是依次分析排列中每个数后面比它小的数的个数，然后将这些个数相加，即可得到该排列的逆序数。

(1) 计算排列 $4132$ 的逆序数

• 对于数字 $4$，它后面比它小的数有 $1$、$3$、$2$，共 $3$ 个逆序。
• 对于数字 $3$，它后面比它小的数有 $2$，共 $1$ 个逆序。
• 对于数字 $1$，它后面没有比它小的数，逆序个数为 $0$。
• 对于数字 $2$，它后面没有比它小的数，逆序个数为 $0$。
  将所有逆序个数相加，可得总逆序数为 $3 + 1 + 0 + 0 = 4$。

(2) 计算排列 $361524$ 的逆序数

• 对于数字 $3$，它后面比它小的数有 $1$、$2$，共 $2$ 个逆序。
• 对于数字 $6$，它后面比它小的数有 $1$、$5$、$2$、$4$，共 $4$ 个逆序。
• 对于数字 $1$，它后面没有比它小的数，逆序个数为 $0$。
• 对于数字 $5$，它后面比它小的数有 $2$、$4$，共 $2$ 个逆序。
• 对于数字 $2$，它后面没有比它小的数，逆序个数为 $0$。
• 对于数字 $4$，它后面没有比它小的数，逆序个数为 $0$。
  将所有逆序个数相加，可得总逆序数为 $2 + 4 + 0 + 2 + 0 + 0 = 8$。

(3) 计算排列 $13\cdots(2n - 1)(2n)(2n - 2)\cdots2$ 的逆序数

• 奇数部分递增，无逆序：排列中奇数部分 $1$、$3$、$\cdots$、$(2n - 1)$ 是递增的，所以这部分的逆序数为 $0$。
• 偶数部分递减，逆序数为 $\binom{n}{2}$：偶数部分 $(2n)$、$(2n - 2)$、$\cdots$、$2$ 是递减的，从 $n$ 个元素中选 $2$ 个元素的组合数为 $\binom{n}{2}$，根据组合数公式 $\binom{n}{2}=\frac{n!}{2!(n - 2)!}=\frac{n(n - 1)}{2}$，所以这部分的逆序数为 $\frac{n(n - 1)}{2}$。
• 奇数与偶数间逆序数：
  • 数字 $1$ 后面比它小的偶数个数为 $0$。
  • 数字 $3$ 后面比它小的偶数个数为 $1$。
  • 数字 $5$ 后面比它小的偶数个数为 $2$。
  • $\cdots$
  • 数字 $(2n - 1)$ 后面比它小的偶数个数为 $n - 1$。
    所以奇数与偶数间的逆序数为 $\sum_{k = 1}^{n}(k - 1)$，根据等差数列求和公式 $S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$（其中 $a_1 = 0$，$a_n = n - 1$），可得 $\sum_{k = 1}^{n}(k - 1)=\frac{(0 + n - 1)n}{2}=\frac{(n - 1)n}{2}$。
• 总逆序数：将上述三部分的逆序数相加，可得总逆序数为 $0 + \frac{n(n - 1)}{2} + \frac{(n - 1)n}{2}=n(n - 1)$。