题目

从0，1，2，…，9中任意选出3个不同的数字，事件A_(1)=“三个数字中不含0与5”；A_(2)=“三个数字中不P(A_(1))=underline(1)=underline(2)；P(A_(2))=underline(3)=underline(4)。请从下列各项中选出你认为正确的项填入上述绿色横线上，并选择对应填入序列。a.(C_(3)^1)/(C_(10)^3) b.(C_(3)^3)/(C_(10)^3) c. 1-(C_(3)^3)/(C_(10)^3) d.(C_(3)^1C_(2)^3)/(C_(10)^3)e.(1)/(15) f.(7)/(15) g.(9)/(15) h.(14)/(15)A b-f-c-hB b-f-a-eC a-e-d-gD c-h-d-g

从0，1，2，…，9中任意选出3个不同的数字，事件$A_{1}=$“三个数字中不含0与5”；$A_{2}=$“三个数字中不 $P(A_{1})=\underline{1}=\underline{2}$；$P(A_{2})=\underline{3}=\underline{4}$。 请从下列各项中选出你认为正确的项填入上述绿色横线上，并选择对应填入序列。 a.$\frac{C_{3}^{1}}{C_{10}^{3}}$ b.$\frac{C_{3}^{3}}{C_{10}^{3}}$ c.$ 1-\frac{C_{3}^{3}}{C_{10}^{3}}$ d.$\frac{C_{3}^{1}C_{2}^{3}}{C_{10}^{3}}$ e.$\frac{1}{15}$ f.$\frac{7}{15}$ g.$\frac{9}{15}$ h.$\frac{14}{15}$ A b-f-c-h B b-f-a-e C a-e-d-g D c-h-d-g

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要计算事件 $A_1$ 和 $A_2$ 的概率，然后将正确的值填入给定的横线上。

逐步解题：

  1. 计算从0到9中选择3个不同数字的总方法数：
    从10个数字中选择3个不同数字的总方法数由组合公式 $\binom{10}{3}$ 给出：
    $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

  2. 计算事件 $A_1$ 的概率：
    事件 $A_1$ 是“三个数字中不含0与5”。这意味着我们需要从集合 $\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$ 中选择3个数字。从8个数字中选择3个数字的方法数为 $\binom{8}{3}$：
    $\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$
    因此，事件 $A_1$ 的概率为：
    $P(A_1) = \frac{\binom{8}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{56}{120} = \frac{7}{15}$

  3. 计算事件 $A_2$ 的概率：
    事件 $A_2$ 是“三个数字中不同时包含0与5”。这意味着我们需要排除同时包含0与5的数字选择。首先，计算同时包含0与5的数字选择数量。如果0与5被包含，我们需要从剩余的8个数字中选择1个数字。从8个数字中选择1个数字的方法数为 $\binom{8}{1} = 8$。因此，同时包含0与5的数字选择数量为8。事件 $A_2$ 的概率为：
    $P(A_2) = 1 - \frac{\binom{8}{1}}{\binom{10}{3}} = 1 - \frac{8}{120} = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$

将值填入横线：

  • $P(A_1) = \frac{7}{15}$
  • $P(A_2) = \frac{14}{15}$

从给定的选项中，我们有：

  • $\frac{C_8^3}{C_{10}^3} = \frac{56}{120} = \frac{7}{15}$ 对应于 $\frac{7}{15}$
  • $1 - \frac{C_8^1}{C_{10}^3} = 1 - \frac{8}{120} = \frac{14}{15}$ 对应于 $\frac{14}{15}$

因此，正确的序列是 $b-f-c-h$。

答案是 $\boxed{A}$.

解析

本题主要考查古典概型概率的计算，解题的关键在于明确事件所包含的基本事件个数以及总的基本事件个数，再根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是基本事件总数，$m$是事件$A$所包含的基本事件个数）进行计算。

1. 计算从$0$到$9$中选择$3$个不同数字的总方法数

从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数记为$C_{n}^m$，其计算公式为$C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}$。
从$10$个数字中选择$3$个不同数字的总方法数为$C_{10}^3$，根据组合数公式可得：
$\begin{align*}C_{10}^3&=\frac{10!}{3!(10 - 3)!}\\&=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}\\& = 120\end{align*}$

2. 计算事件$A_1$的概率

事件$A_1$为“三个数字中不含$0$与$5$”，那么只能从集合$\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$这$8$个数字中选择$3$个数字，其方法数为$C_{8}^3$，根据组合数公式可得：
$\begin{align*}C_{8}^3&=\frac{8!}{3!(8 - 3)!}\\&=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}\\& = 56\end{align*}$
根据古典概型概率公式，事件$A_1$的概率$P(A_1)$为：
$P(A_1)=\frac{C_{8}^3}{C_{10}^3}=\frac{56}{120}=\frac{7}{15}$

3. 计算事件$A_2$的概率

事件$A_2$为“三个数字中不同时包含$0$与$5$”，我们可以先计算其对立事件“三个数字中同时包含$0$与$5$”的概率，再用$1$减去该对立事件的概率。
若三个数字中同时包含$0$与$5$，则只需从剩下的$8$个数字中再选$1$个数字，其方法数为$C_{8}^1$，根据组合数公式可得：
$C_{8}^1=\frac{8!}{1!(8 - 1)!}=\frac{8}{1}= 8$
那么“三个数字中同时包含$0$与$5$”的概率为$\frac{C_{8}^1}{C_{10}^3}=\frac{8}{120}=\frac{1}{15}$。
所以事件$A_2$的概率$P(A_2)$为：
$P(A_2)=1 - \frac{C_{8}^1}{C_{10}^3}=1 - \frac{8}{120}=1 - \frac{1}{15}=\frac{14}{15}$

4. 确定填入横线的选项

由上述计算可知$P(A_1)=\frac{C_{8}^3}{C_{10}^3}=\frac{7}{15}$，对应选项$b$和$f$；$P(A_2)=1 - \frac{C_{8}^1}{C_{10}^3}=\frac{14}{15}$，对应选项$c$和$h$。
所以正确的序列是$b - f - c - h$。