题目
12.试从(1)/(1+x)=(1-x)+(x^2-x^3)+...(0<1)证明：ln 2=1-(1)/(2)+(1)/(3)-(1)/(4)+....
12.试从$\frac{1}{1+x}=(1-x)+(x^{2}-x^{3})+\cdots(0<1)$证明：
$\ln 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$.
题目解答
答案
由题设，当 $0 < x < 1$ 时，有
\[
\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^\infty (x^{2n} - x^{2n+1}).
\]
在[0,1]上积分两边，利用逐项积分定理（因逐项非负可交换积分与求和）得
\[
\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 (x^{2n} - x^{2n+1}) \, dx.
\]
计算每个积分：
\[
\int_0^1 x^{2n} \, dx = \frac{1}{2n+1}, \quad \int_0^1 x^{2n+1} \, dx = \frac{1}{2n+2},
\]
故
\[
\int_0^1 (x^{2n} - x^{2n+1}) \, dx = \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2}.
\]
因此
\[
\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots.
\]
又
\[
\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \ln(1+x) \bigg|_0^1 = \ln 2,
\]
所以
\[
\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots.
\]
证毕。
解析
步骤 1：理解给定的级数表达式
给定的级数表达式为 $\frac{1}{1+x} = (1-x) + (x^2 - x^3) + \cdots$，其中 $0 < x < 1$。这个表达式实际上是一个无穷级数，可以写成 $\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^\infty (x^{2n} - x^{2n+1})$。
步骤 2：对级数进行积分
对上述级数两边在区间 $[0,1]$ 上进行积分，利用逐项积分定理（因逐项非负可交换积分与求和），得到
\[ \int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 (x^{2n} - x^{2n+1}) \, dx. \]
步骤 3：计算每个积分
计算每个积分项，得到
\[ \int_0^1 x^{2n} \, dx = \frac{1}{2n+1}, \quad \int_0^1 x^{2n+1} \, dx = \frac{1}{2n+2}, \]
因此
\[ \int_0^1 (x^{2n} - x^{2n+1}) \, dx = \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2}. \]
步骤 4：求和
将每个积分项求和，得到
\[ \int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots. \]
步骤 5：计算积分
计算积分 $\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx$，得到
\[ \int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \ln(1+x) \bigg|_0^1 = \ln 2. \]
步骤 6：得出结论
因此，我们得出结论
\[ \ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots. \]
给定的级数表达式为 $\frac{1}{1+x} = (1-x) + (x^2 - x^3) + \cdots$，其中 $0 < x < 1$。这个表达式实际上是一个无穷级数，可以写成 $\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^\infty (x^{2n} - x^{2n+1})$。
步骤 2：对级数进行积分
对上述级数两边在区间 $[0,1]$ 上进行积分，利用逐项积分定理（因逐项非负可交换积分与求和），得到
\[ \int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 (x^{2n} - x^{2n+1}) \, dx. \]
步骤 3：计算每个积分
计算每个积分项，得到
\[ \int_0^1 x^{2n} \, dx = \frac{1}{2n+1}, \quad \int_0^1 x^{2n+1} \, dx = \frac{1}{2n+2}, \]
因此
\[ \int_0^1 (x^{2n} - x^{2n+1}) \, dx = \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2}. \]
步骤 4：求和
将每个积分项求和，得到
\[ \int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots. \]
步骤 5：计算积分
计算积分 $\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx$，得到
\[ \int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \ln(1+x) \bigg|_0^1 = \ln 2. \]
步骤 6：得出结论
因此，我们得出结论
\[ \ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots. \]