4.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为-|||- (x,y)= ) (e)^-y,0lt x 0, .-|||-求fx(x)和fy(y),并判断X和Y是否相互独立.

考查要点：本题主要考查二维随机变量的边缘概率密度求解以及随机变量独立性的判断。

解题思路：

1. 边缘密度求解：根据联合概率密度的定义，分别对$x$和$y$进行积分，注意积分上下限由联合密度的定义域$0 < x < y$确定。
2. 独立性判断：验证是否满足$f_X(x)f_Y(y) = f(x,y)$，若不等则说明不独立。

关键点：

• 积分上下限：求$f_X(x)$时，$y$的范围是$x$到$+\infty$；求$f_Y(y)$时，$x$的范围是$0$到$y$。
• 独立性条件：若乘积边缘密度不等于联合密度，则变量不独立。

求$f_X(x)$

根据定义：
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy$
由于$f(x,y) = e^{-y}$仅在$0 < x < y$时非零，因此积分上下限为$y = x$到$+\infty$：
$f_X(x) = \begin{cases}\displaystyle \int_{x}^{+\infty} e^{-y} \, dy = e^{-x}, & x > 0, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$

求$f_Y(y)$

同理：
$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx$
当$y > 0$时，$x$的范围是$0$到$y$，因此：
$f_Y(y) = \int_{0}^{y} e^{-y} \, dx = y e^{-y}, \quad y > 0.$

判断独立性

计算$f_X(x)f_Y(y)$：
$f_X(x)f_Y(y) = e^{-x} \cdot y e^{-y} = y e^{-(x+y)}.$
而原联合密度$f(x,y) = e^{-y}$在$0 < x < y$时非零。显然，当$x < y$时：
$y e^{-(x+y)} \neq e^{-y},$
因此$f_X(x)f_Y(y) \neq f(x,y)$，说明$X$和$Y$不独立。