题目
设线性方程组Ax=b的增广矩阵通过初等行变换化为1 0 1 0 0-|||-0 2 1 -2 -3-|||-0 0 0 5 7-|||-0 0 0 0 0则该方程组解的存在情况为(). A 无解B 有唯一解C 无穷多解D 无法判断
设线性方程组Ax=b的增广矩阵通过初等行变换化为
则该方程组解的存在情况为().
A 无解
B 有唯一解
C 无穷多解
D 无法判断
题目解答
答案
解：
由已0知条件可知：该矩阵的增广矩阵与系数矩阵的秩相同，即
∵
∴
∴该方程组存在无穷多解。
∴选择C。
解析
步骤 1：确定增广矩阵的秩
根据题目中给出的增广矩阵，我们可以通过观察矩阵的行来确定其秩。增广矩阵的秩是矩阵中线性无关的行数。从题目中给出的矩阵形式，我们可以看出矩阵的秩为3，因为有3个非零行。
步骤 2：确定系数矩阵的秩
系数矩阵是增广矩阵去掉最后一列（常数列）后得到的矩阵。从题目中给出的增广矩阵，我们可以看出系数矩阵的秩也是3，因为有3个非零行。
步骤 3：判断方程组解的存在情况
根据线性代数中的定理，如果增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，那么方程组有解。如果增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩且等于未知数的个数，那么方程组有唯一解。如果增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩但小于未知数的个数，那么方程组有无穷多解。从题目中给出的矩阵，我们可以看出增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，但小于未知数的个数（未知数的个数为4），因此方程组有无穷多解。
根据题目中给出的增广矩阵，我们可以通过观察矩阵的行来确定其秩。增广矩阵的秩是矩阵中线性无关的行数。从题目中给出的矩阵形式，我们可以看出矩阵的秩为3，因为有3个非零行。
步骤 2：确定系数矩阵的秩
系数矩阵是增广矩阵去掉最后一列（常数列）后得到的矩阵。从题目中给出的增广矩阵，我们可以看出系数矩阵的秩也是3，因为有3个非零行。
步骤 3：判断方程组解的存在情况
根据线性代数中的定理，如果增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，那么方程组有解。如果增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩且等于未知数的个数，那么方程组有唯一解。如果增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩但小于未知数的个数，那么方程组有无穷多解。从题目中给出的矩阵，我们可以看出增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，但小于未知数的个数（未知数的个数为4），因此方程组有无穷多解。