题目
4. (10.0分) 求解微分方程20x''+24(x')^2=0，令x'=p，可得20pp'+24p^2=0. A 对 B 错
4. (10.0分) 求解微分方程20$x''+24(x')^2=0$，令$x'=p$，可得20$pp'+24p^2=0$.
A 对
B 错
题目解答
答案
为了求解微分方程 $20x'' + 24(x')^2 = 0$，我们首先令 $x' = p$。由于 $x''$ 是 $x'$ 关于 $t$ 的导数，而 $x' = p$，因此 $x'' = \frac{dp}{dt}$。
将 $x'' = \frac{dp}{dt}$ 和 $x' = p$ 代入原微分方程，我们得到：
\[20 \frac{dp}{dt} + 24p^2 = 0.\]
接下来，我们使用链式法则将 $\frac{dp}{dt}$ 表达为 $p$ 和 $x$ 的函数。由于 $p = \frac{dx}{dt}$，我们有 $\frac{dp}{dt} = \frac{dp}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = p \frac{dp}{dx}$。将这个表达式代入方程，我们得到：
\[20p \frac{dp}{dx} + 24p^2 = 0.\]
我们可以从方程中提取公因子 $p$：
\[p(20 \frac{dp}{dx} + 24p) = 0.\]
这个方程给出了两个可能的解：
1. $p = 0$，这意味着 $x' = 0$，因此 $x$ 是一个常数。
2. $20 \frac{dp}{dx} + 24p = 0$。我们可以将这个方程重写为：
\[\frac{dp}{dx} + \frac{24}{20}p = 0,\]
或者
\[\frac{dp}{dx} + \frac{6}{5}p = 0.\]
这是一个一阶线性微分方程，我们可以使用分离变量法来求解。将变量分离，我们得到：
\[\frac{dp}{p} = -\frac{6}{5} dx.\]
对两边积分，我们得到：
\[\ln |p| = -\frac{6}{5} x + C,\]
其中 $C$ 是一个积分常数。对两边取指数，我们得到：
\[|p| = e^{-\frac{6}{5} x + C} = e^C e^{-\frac{6}{5} x}.\]
由于 $e^C$ 是一个正的常数，我们可以将其写为另一个常数 $K$，因此：
\[p = Ke^{-\frac{6}{5} x},\]
其中 $K$ 是一个常数（可以是正数或负数）。
回想 $p = x'$，因此我们有：
\[x' = Ke^{-\frac{6}{5} x}.\]
这是一个另一个一阶微分方程，我们可以再次使用分离变量法来求解。将变量分离，我们得到：
\[e^{\frac{6}{5} x} dx = K dt.\]
对两边积分，我们得到：
\[\frac{5}{6} e^{\frac{6}{5} x} = Kt + C_1,\]
其中 $C_1$ 是另一个积分常数。解出 $e^{\frac{6}{5} x}$，我们得到：
\[e^{\frac{6}{5} x} = \frac{6}{5} (Kt + C_1).\]
对两边取自然对数，我们得到：
\[\frac{6}{5} x = \ln \left( \frac{6}{5} (Kt + C_1) \right),\]
或者
\[x = \frac{5}{6} \ln \left( \frac{6}{5} (Kt + C_1) \right).\]
这是微分方程的通解。然而，问题只问我们变换是否正确，答案是肯定的，因为变换 $x' = p$ 导致方程 $20pp' + 24p^2 = 0$，这是正确的。
因此，答案是 $\boxed{\text{A}}$。
解析
步骤 1：变量替换
令 $x' = p$，则 $x'' = \frac{dp}{dt}$。将 $x'$ 和 $x''$ 代入原微分方程，得到 $20\frac{dp}{dt} + 24p^2 = 0$。
步骤 2：链式法则
由于 $p = \frac{dx}{dt}$，我们有 $\frac{dp}{dt} = \frac{dp}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = p \frac{dp}{dx}$。将这个表达式代入方程，我们得到 $20p \frac{dp}{dx} + 24p^2 = 0$。
步骤 3：简化方程
从方程中提取公因子 $p$，得到 $p(20 \frac{dp}{dx} + 24p) = 0$。这个方程给出了两个可能的解：$p = 0$ 或 $20 \frac{dp}{dx} + 24p = 0$。
步骤 4：验证变换
将 $x' = p$ 代入原微分方程，得到 $20pp' + 24p^2 = 0$，这与题目中的变换一致。
令 $x' = p$，则 $x'' = \frac{dp}{dt}$。将 $x'$ 和 $x''$ 代入原微分方程，得到 $20\frac{dp}{dt} + 24p^2 = 0$。
步骤 2：链式法则
由于 $p = \frac{dx}{dt}$，我们有 $\frac{dp}{dt} = \frac{dp}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = p \frac{dp}{dx}$。将这个表达式代入方程，我们得到 $20p \frac{dp}{dx} + 24p^2 = 0$。
步骤 3：简化方程
从方程中提取公因子 $p$，得到 $p(20 \frac{dp}{dx} + 24p) = 0$。这个方程给出了两个可能的解：$p = 0$ 或 $20 \frac{dp}{dx} + 24p = 0$。
步骤 4：验证变换
将 $x' = p$ 代入原微分方程，得到 $20pp' + 24p^2 = 0$，这与题目中的变换一致。