题目
质点的运动方程为=-10t+30(t)^2和=-10t+30(t)^2,式中x,y的单位为m,t的单位为s.试求(1)初速度的大小和方向?(2)加速度的大小和方向?
质点的运动方程为
和
,式中x,y的单位为m,t的单位为s.试求
(1)初速度的大小和方向?
(2)加速度的大小和方向?
题目解答
答案
【答案】
(1)$5\sqrt{13}m/s$，方向与x负方向的夹角为$arc\tan \dfrac{3}{2}$，偏向y正方向；(2)$20\sqrt{13}m/{s}^{2}$，方向与x正方向的夹角为$arc\tan \dfrac{2}{3}$，偏向y负方向；
【解析】
(1)根据$s={v}_{0}t+\dfrac{a{t}^{2}}{2}$，可知x方向上，初速度为${v}_{0x}=-10m/s$，y方向上，初速度为${v}_{0y}=15m/s$，合初速度为${v}_{0}=\sqrt{{{v}_{0x}}^{2}+{{v}_{0y}}^{2}}=5\sqrt{13}m/s$，方向与x负方向的夹角为$arc\tan \left|\dfrac{{v}_{0y}}{{v}_{0x}}\right|=arc\tan \dfrac{3}{2}$，偏向y正方向；
(2)x方向上，加速度为${a}_{x}=60m/{s}^{2}$，y方向上，加速度为${a}_{y}=-40m/{s}^{2}$，合加速度为$a=\sqrt{{{a}_{x}}^{2}+{{a}_{y}}^{2}}=20\sqrt{13}m/{s}^{2}$，方向与x正方向的夹角为$arc\tan \left|\dfrac{{a}_{y}}{{a}_{x}}\right|=arc\tan \dfrac{2}{3}$，偏向y负方向；
解析
步骤 1：确定初速度
根据质点的运动方程$x=-10t+30{t}^{2}$和$y=15t-20{t}^{2}$，我们可以看到，初速度是t=0时的速度。在t=0时，x和y的导数分别代表x和y方向上的初速度。
步骤 2：计算x方向上的初速度
对$x=-10t+30{t}^{2}$求导，得到$x'=-10+60t$。在t=0时，$x'=-10$，即x方向上的初速度${v}_{0x}=-10m/s$。
步骤 3：计算y方向上的初速度
对$y=15t-20{t}^{2}$求导，得到$y'=15-40t$。在t=0时，$y'=15$，即y方向上的初速度${v}_{0y}=15m/s$。
步骤 4：计算初速度的大小
初速度的大小${v}_{0}=\sqrt{{{v}_{0x}}^{2}+{{v}_{0y}}^{2}}=\sqrt{(-10)^{2}+15^{2}}=5\sqrt{13}m/s$。
步骤 5：计算初速度的方向
初速度的方向与x负方向的夹角为$arc\tan \left|\dfrac{{v}_{0y}}{{v}_{0x}}\right|=arc\tan \dfrac{15}{10}=arc\tan \dfrac{3}{2}$，偏向y正方向。
步骤 6：确定加速度
根据质点的运动方程$x=-10t+30{t}^{2}$和$y=15t-20{t}^{2}$，我们可以看到，加速度是t=0时的二阶导数。在t=0时，x和y的二阶导数分别代表x和y方向上的加速度。
步骤 7：计算x方向上的加速度
对$x=-10t+30{t}^{2}$求二阶导，得到$x''=60$，即x方向上的加速度${a}_{x}=60m/{s}^{2}$。
步骤 8：计算y方向上的加速度
对$y=15t-20{t}^{2}$求二阶导，得到$y''=-40$，即y方向上的加速度${a}_{y}=-40m/{s}^{2}$。
步骤 9：计算加速度的大小
加速度的大小$a=\sqrt{{{a}_{x}}^{2}+{{a}_{y}}^{2}}=\sqrt{60^{2}+(-40)^{2}}=20\sqrt{13}m/{s}^{2}$。
步骤 10：计算加速度的方向
加速度的方向与x正方向的夹角为$arc\tan \left|\dfrac{{a}_{y}}{{a}_{x}}\right|=arc\tan \dfrac{40}{60}=arc\tan \dfrac{2}{3}$，偏向y负方向。
根据质点的运动方程$x=-10t+30{t}^{2}$和$y=15t-20{t}^{2}$，我们可以看到，初速度是t=0时的速度。在t=0时，x和y的导数分别代表x和y方向上的初速度。
步骤 2：计算x方向上的初速度
对$x=-10t+30{t}^{2}$求导，得到$x'=-10+60t$。在t=0时，$x'=-10$，即x方向上的初速度${v}_{0x}=-10m/s$。
步骤 3：计算y方向上的初速度
对$y=15t-20{t}^{2}$求导，得到$y'=15-40t$。在t=0时，$y'=15$，即y方向上的初速度${v}_{0y}=15m/s$。
步骤 4：计算初速度的大小
初速度的大小${v}_{0}=\sqrt{{{v}_{0x}}^{2}+{{v}_{0y}}^{2}}=\sqrt{(-10)^{2}+15^{2}}=5\sqrt{13}m/s$。
步骤 5：计算初速度的方向
初速度的方向与x负方向的夹角为$arc\tan \left|\dfrac{{v}_{0y}}{{v}_{0x}}\right|=arc\tan \dfrac{15}{10}=arc\tan \dfrac{3}{2}$，偏向y正方向。
步骤 6：确定加速度
根据质点的运动方程$x=-10t+30{t}^{2}$和$y=15t-20{t}^{2}$，我们可以看到，加速度是t=0时的二阶导数。在t=0时，x和y的二阶导数分别代表x和y方向上的加速度。
步骤 7：计算x方向上的加速度
对$x=-10t+30{t}^{2}$求二阶导，得到$x''=60$，即x方向上的加速度${a}_{x}=60m/{s}^{2}$。
步骤 8：计算y方向上的加速度
对$y=15t-20{t}^{2}$求二阶导，得到$y''=-40$，即y方向上的加速度${a}_{y}=-40m/{s}^{2}$。
步骤 9：计算加速度的大小
加速度的大小$a=\sqrt{{{a}_{x}}^{2}+{{a}_{y}}^{2}}=\sqrt{60^{2}+(-40)^{2}}=20\sqrt{13}m/{s}^{2}$。
步骤 10：计算加速度的方向
加速度的方向与x正方向的夹角为$arc\tan \left|\dfrac{{a}_{y}}{{a}_{x}}\right|=arc\tan \dfrac{40}{60}=arc\tan \dfrac{2}{3}$，偏向y负方向。