质点的运动方程为=-10t+30(t)^2和=-10t+30(t)^2,式中x,y的单位为m,t的单位为s.试求(1)初速度的大小和方向?(2)加速度的大小和方向?
质点的运动方程为
和
,式中x,y的单位为m,t的单位为s.试求
(1)初速度的大小和方向?
(2)加速度的大小和方向?
题目解答
答案
【答案】
(1)$5\sqrt{13}m/s$，方向与x负方向的夹角为$arc\tan \dfrac{3}{2}$，偏向y正方向；(2)$20\sqrt{13}m/{s}^{2}$，方向与x正方向的夹角为$arc\tan \dfrac{2}{3}$，偏向y负方向；
【解析】
(1)根据$s={v}_{0}t+\dfrac{a{t}^{2}}{2}$，可知x方向上，初速度为${v}_{0x}=-10m/s$，y方向上，初速度为${v}_{0y}=15m/s$，合初速度为${v}_{0}=\sqrt{{{v}_{0x}}^{2}+{{v}_{0y}}^{2}}=5\sqrt{13}m/s$，方向与x负方向的夹角为$arc\tan \left|\dfrac{{v}_{0y}}{{v}_{0x}}\right|=arc\tan \dfrac{3}{2}$，偏向y正方向；
(2)x方向上，加速度为${a}_{x}=60m/{s}^{2}$，y方向上，加速度为${a}_{y}=-40m/{s}^{2}$，合加速度为$a=\sqrt{{{a}_{x}}^{2}+{{a}_{y}}^{2}}=20\sqrt{13}m/{s}^{2}$，方向与x正方向的夹角为$arc\tan \left|\dfrac{{a}_{y}}{{a}_{x}}\right|=arc\tan \dfrac{2}{3}$，偏向y负方向；
解析
考查要点：本题主要考查质点运动方程中速度和加速度的计算，以及矢量合成的能力。
解题思路：
- 速度与加速度的求导关系：速度是位移对时间的一阶导数，加速度是速度对时间的一阶导数（或位移对时间的二阶导数）。
- 矢量合成：通过分量合成计算速度和加速度的大小，利用反正切函数确定方向角。
关键点：
- 分量符号的物理意义：速度和加速度的分量符号决定方向。
- 方向角的基准：初速度方向以x负方向为基准，加速度方向以x正方向为基准。
第（1）题：初速度的大小和方向
求速度分量
根据位移方程求导：
- x方向：$x = -10t + 30t^2$
$v_x = \frac{dx}{dt} = -10 + 60t$
初速度（$t=0$）：$v_{0x} = -10 \, \text{m/s}$ - y方向：$y = 15t - 20t^2$
$v_y = \frac{dy}{dt} = 15 - 40t$
初速度（$t=0$）：$v_{0y} = 15 \, \text{m/s}$
合成初速度大小
$v_0 = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{0y}^2} = \sqrt{(-10)^2 + 15^2} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13} \, \text{m/s}$
确定方向角
初速度方向与x负方向的夹角：
$\theta = \arctan\left|\frac{v_{0y}}{v_{0x}}\right| = \arctan\left(\frac{15}{10}\right) = \arctan\left(\frac{3}{2}\right)$
偏向y正方向（因$v_{0y}$为正，$v_{0x}$为负）。
第（2）题：加速度的大小和方向
求加速度分量
对速度再次求导：
- x方向：
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = 60 \, \text{m/s}^2$ - y方向：
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = -40 \, \text{m/s}^2$
合成加速度大小
$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{60^2 + (-40)^2} = \sqrt{5200} = 20\sqrt{13} \, \text{m/s}^2$
确定方向角
加速度方向与x正方向的夹角：
$\theta = \arctan\left|\frac{a_y}{a_x}\right| = \arctan\left(\frac{40}{60}\right) = \arctan\left(\frac{2}{3}\right)$
偏向y负方向（因$a_y$为负，$a_x$为正）。