已知 f(x) = lim_(n to infty) (ln(e^n + x^n))/(n), (x > 0).(1) 求 f(x)；(2) 函数 f(x) 在定义域内是否连续.

我们来逐步分析并解决这个题目。

题目：

已知函数：
$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(e^n + x^n)}{n}, \quad (x > 0)$

(1) 求 $ f(x) $；
(2) 函数 $ f(x) $ 在定义域内是否连续。

(1) 求 $ f(x) $

我们从极限表达式入手：
$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(e^n + x^n)}{n}$

注意到 $ e^n $ 和 $ x^n $ 都是指数函数，我们可以尝试提取出较大的项进行近似。

分情况讨论：

情况一：$ x > e $

此时 $ x^n $ 比 $ e^n $ 增长得更快，因此：
$e^n + x^n \approx x^n \quad \text{当 } n \to \infty$

于是：
$\ln(e^n + x^n) \approx \ln(x^n) = n \ln x$

代入原式：
$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{n \ln x}{n} = \ln x$

情况二：$ x < e $

此时 $ e^n $ 比 $ x^n $ 增长得更快，因此：
$e^n + x^n \approx e^n$

于是：
$\ln(e^n + x^n) \approx \ln(e^n) = n$

代入原式：
$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n} = 1$

情况三：$ x = e $

此时 $ e^n = x^n $，所以：
$e^n + x^n = 2e^n$

于是：
$\ln(e^n + x^n) = \ln(2e^n) = \ln 2 + \ln(e^n) = \ln 2 + n$

代入原式：
$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln 2 + n}{n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{\ln 2}{n} + 1 \right) = 1$

综上所述，得到：

$f(x) = \begin{cases}1, & 0 < x \le e \\\ln x, & x > e\end{cases}$

(2) 函数 $ f(x) $ 在定义域内是否连续

我们已经知道：
$f(x) = \begin{cases}1, & 0 < x \le e \\\ln x, & x > e\end{cases}$

我们来判断在 $ x = e $ 处是否连续。

左极限（从 $ x \to e^- $）：

$\lim_{x \to e^-} f(x) = 1$

右极限（从 $ x \to e^+ $）：

$\lim_{x \to e^+} f(x) = \ln e = 1$

函数值：

$f(e) = 1$

因此，左右极限相等，且等于函数值，说明在 $ x = e $ 处连续。

在其他点是否连续？

• 在 $ 0 < x < e $，$ f(x) = 1 $，是常数函数，连续；
• 在 $ x > e $，$ f(x) = \ln x $，是连续函数；
• 在 $ x = e $，我们已经验证过连续。

结论：

函数 $ f(x) $ 在其定义域 $ (0, \infty) $ 上是连续的。

最终答案：

(1) 函数表达式为：

$f(x) = \begin{cases}1, & 0 < x \le e \\\ln x, & x > e\end{cases}$

(2) 函数 $ f(x) $ 在定义域 $ (0, \infty) $ 内是连续的。

✅ 答：

(1) $ f(x) =
\begin{cases}1, & 0 < x \le e \\\ln x, & x > e\end{cases} $；

(2) 函数 $ f(x) $ 在定义域内是连续的。

$\boxed{ \begin{aligned}(1)\quad & f(x) = \begin{cases}1, & 0 < x \le e \\\ln x, & x > e\end{cases} \\ (2)\quad & f(x) \text{ 在 } (0, \infty) \text{ 上连续} \end{aligned} }$