14.一质点沿x轴运动,其加速度为 =4t(SI), 已知 t=0 时,质点位于 _(0)=10m 处,初-|||-速度 _(0)=0 试求其位置和时间的关系式。

考查要点：本题主要考查变加速直线运动中，通过积分法由加速度求解位置与时间关系的能力。
解题核心思路：

1. 加速度与速度的关系：加速度是速度对时间的导数，因此速度是加速度对时间的积分。
2. 速度与位置的关系：速度是位置对时间的导数，因此位置是速度对时间的积分。
   破题关键点：

• 两次积分：先对加速度积分求速度，再对速度积分求位置。
• 初始条件的应用：利用初速度和初始位置确定积分常数。

步骤1：求速度表达式

已知加速度 $a = 4t$，根据加速度与速度的关系：
$a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \implies v(t) = \int a \, \mathrm{d}t = \int 4t \, \mathrm{d}t = 2t^2 + C$
代入初始条件 $t=0$ 时 $v_0=0$，得 $C=0$，因此：
$v(t) = 2t^2$

步骤2：求位置表达式

根据速度与位置的关系：
$v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \implies x(t) = \int v \, \mathrm{d}t = \int 2t^2 \, \mathrm{d}t = \frac{2}{3}t^3 + D$
代入初始条件 $t=0$ 时 $x_0=10$，得 $D=10$，因此：
$x(t) = \frac{2}{3}t^3 + 10$