题目
17.问λ,μ为何值时，下列线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？当有无穷多解时，求出其通解。}x_(1)+2x_(2)-2x_(3)+x_(4)=1;-x_(2)+x_(3)-x_(4)=0;2x_(1)+x_(2)-x_(4)=3;x_(1)+x_(2)+lambda x_(4)=2-mu.
17.问λ,μ为何值时，下列线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？当有无穷多解时，求出其通解。
$\begin{cases}x_{1}+2x_{2}-2x_{3}+x_{4}=1;\\-x_{2}+x_{3}-x_{4}=0;\\2x_{1}+x_{2}-x_{4}=3;\\x_{1}+x_{2}+\lambda x_{4}=2-\mu.\end{cases}$
题目解答
答案
将增广矩阵化简为行阶梯形：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & \lambda & -\mu
\end{pmatrix}
\]
**解的情况：**
1. **唯一解**：$\lambda \neq 0$，此时秩为4，方程组有唯一解。
2. **无解**：$\lambda = 0$且$\mu \neq 0$，此时秩为3，增广矩阵秩为4，无解。
3. **无穷多解**：$\lambda = 0$且$\mu = 0$，此时秩为3，有无穷多解。
**通解（$\lambda = 0$，$\mu = 0$时）：**
\[
\boxed{
\begin{cases}
x_1 = 1 + k, \\
x_2 = 1 - k, \\
x_3 = 1, \\
x_4 = k.
\end{cases}
}
\]
或
\[
\boxed{
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
+
k
\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
}
\]
解析
步骤 1：将方程组写成增广矩阵形式
将给定的线性方程组写成增广矩阵形式，以便进行行变换。
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & \lambda & 2-\mu \end{pmatrix} \]
步骤 2：化简增广矩阵为行阶梯形
通过行变换将增广矩阵化简为行阶梯形。
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -3 & 4 & -3 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & \lambda-1 & 1-\mu \end{pmatrix} \]
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda & -\mu \end{pmatrix} \]
步骤 3：分析解的情况
根据行阶梯形矩阵的秩来判断方程组的解的情况。
1. **唯一解**：当$\lambda \neq 0$时，方程组有唯一解。
2. **无解**：当$\lambda = 0$且$\mu \neq 0$时，方程组无解。
3. **无穷多解**：当$\lambda = 0$且$\mu = 0$时，方程组有无穷多解。
步骤 4：求无穷多解的通解
当$\lambda = 0$且$\mu = 0$时，方程组的通解为：
\[ \begin{cases} x_1 = 1 + k, \\ x_2 = 1 - k, \\ x_3 = 1, \\ x_4 = k. \end{cases} \]
或
\[ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
将给定的线性方程组写成增广矩阵形式，以便进行行变换。
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & \lambda & 2-\mu \end{pmatrix} \]
步骤 2：化简增广矩阵为行阶梯形
通过行变换将增广矩阵化简为行阶梯形。
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -3 & 4 & -3 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & \lambda-1 & 1-\mu \end{pmatrix} \]
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda & -\mu \end{pmatrix} \]
步骤 3：分析解的情况
根据行阶梯形矩阵的秩来判断方程组的解的情况。
1. **唯一解**：当$\lambda \neq 0$时，方程组有唯一解。
2. **无解**：当$\lambda = 0$且$\mu \neq 0$时，方程组无解。
3. **无穷多解**：当$\lambda = 0$且$\mu = 0$时，方程组有无穷多解。
步骤 4：求无穷多解的通解
当$\lambda = 0$且$\mu = 0$时，方程组的通解为：
\[ \begin{cases} x_1 = 1 + k, \\ x_2 = 1 - k, \\ x_3 = 1, \\ x_4 = k. \end{cases} \]
或
\[ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]