求极限 lim _(narrow infty )(sqrt ({n)^2+2n}-sqrt ({n)^2-n}).

步骤 1：有理化分子
为了求解这个极限，我们首先需要有理化分子。为此，我们将分子乘以它的共轭表达式，即：
$$
\lim _{n\rightarrow \infty }(\sqrt {{n}^{2}+2n}-\sqrt {{n}^{2}-n}) \cdot \frac{\sqrt {{n}^{2}+2n}+\sqrt {{n}^{2}-n}}{\sqrt {{n}^{2}+2n}+\sqrt {{n}^{2}-n}}
$$
步骤 2：化简表达式
分子变为：
$$
(\sqrt {{n}^{2}+2n})^2 - (\sqrt {{n}^{2}-n})^2 = (n^2 + 2n) - (n^2 - n) = 3n
$$
分母为：
$$
\sqrt {{n}^{2}+2n}+\sqrt {{n}^{2}-n}
$$
因此，原极限变为：
$$
\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{3n}{\sqrt {{n}^{2}+2n}+\sqrt {{n}^{2}-n}}
$$
步骤 3：提取公因子
为了进一步简化，我们提取分母中的公因子 $n$：
$$
\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{3n}{n(\sqrt {1+\frac{2}{n}}+\sqrt {1-\frac{1}{n}})}
$$
步骤 4：计算极限
由于 $n$ 趋于无穷大，$\frac{2}{n}$ 和 $\frac{1}{n}$ 趋于 0，因此：
$$
\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{3}{\sqrt {1+0}+\sqrt {1-0}} = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}
$$