题目
任意 阶矩阵 都可以经过初等变换化为单位矩阵 . A. 对 B. 错
任意 
阶矩阵 
都可以经过初等变换化为单位矩阵 .
A. 对
B. 错
题目解答
答案
由逆矩阵的定义：若对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 
，使
,则说矩阵 是可逆的，且 
若 阶矩阵 可以经过初等变换化为单位矩阵
则 
令
则 ，即矩阵 是可逆
不是任意矩阵都可逆，故命题”任意 阶矩阵 都可以经过初等变换化为单位矩阵”是错误的
故本题答案选 B
解析
步骤 1：逆矩阵的定义
逆矩阵的定义是：若对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 ，使AB=BA=E,则说矩阵 是可逆的，且 $B={A}^{-1}$。
步骤 2：初等变换与逆矩阵的关系
若 阶矩阵 可以经过初等变换化为单位矩阵，则 $A\cdot {P}_{1}{P}_{2}\cdots {P}_{1}=E$，其中 ${P}_{1},{P}_{2},\cdots ,{P}_{1}$ 是初等矩阵。令$B={P}_{1}{P}_{2}\cdots {P}_{1}$，则 $B={A}^{-1}$，即矩阵 是可逆的。
步骤 3：任意矩阵的可逆性
不是任意矩阵都可逆，只有可逆矩阵才能通过初等变换化为单位矩阵。因此，命题“任意 阶矩阵 都可以经过初等变换化为单位矩阵”是错误的。
逆矩阵的定义是：若对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 ，使AB=BA=E,则说矩阵 是可逆的，且 $B={A}^{-1}$。
步骤 2：初等变换与逆矩阵的关系
若 阶矩阵 可以经过初等变换化为单位矩阵，则 $A\cdot {P}_{1}{P}_{2}\cdots {P}_{1}=E$，其中 ${P}_{1},{P}_{2},\cdots ,{P}_{1}$ 是初等矩阵。令$B={P}_{1}{P}_{2}\cdots {P}_{1}$，则 $B={A}^{-1}$，即矩阵 是可逆的。
步骤 3：任意矩阵的可逆性
不是任意矩阵都可逆，只有可逆矩阵才能通过初等变换化为单位矩阵。因此，命题“任意 阶矩阵 都可以经过初等变换化为单位矩阵”是错误的。