题目
设a≠0，若x=a为函数f（x）=a（x-a）2（x-b）的极大值点，则（ ） A. a＜b B. a＞b C. ab＜a2 D. ab＞a2
设a≠0，若x=a为函数f（x）=a（x-a）2（x-b）的极大值点，则（ ）
- A. a＜b
- B. a＞b
- C. ab＜a2
- D. ab＞a2
题目解答
答案
解：令f（x）=0，解得x=a或x=b，即x=a及x=b是f（x）的两个零点，
当a＞0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，
则0＜a＜b；
当a＜0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，
则b＜a＜0；
综上，ab＞a2．
故选：D．
当a＞0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，
则0＜a＜b；
当a＜0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，
则b＜a＜0；
综上，ab＞a2．
故选：D．
解析
步骤 1：确定函数的零点
函数f（x）=a（x-a）^{2}（x-b）的零点为x=a和x=b，因为当x=a或x=b时，f（x）=0。
步骤 2：分析函数的性质
根据三次函数的性质，当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极大值，此时0＜a＜b；当a＜0时，函数f（x）在x=a处取得极大值，此时b＜a＜0。
步骤 3：确定a和b的关系
根据步骤2的分析，无论a是正数还是负数，都有ab＞a^{2}。这是因为当a＞0时，a＜b，所以ab＞a^{2}；当a＜0时，b＜a，所以ab＞a^{2}。
函数f（x）=a（x-a）^{2}（x-b）的零点为x=a和x=b，因为当x=a或x=b时，f（x）=0。
步骤 2：分析函数的性质
根据三次函数的性质，当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极大值，此时0＜a＜b；当a＜0时，函数f（x）在x=a处取得极大值，此时b＜a＜0。
步骤 3：确定a和b的关系
根据步骤2的分析，无论a是正数还是负数，都有ab＞a^{2}。这是因为当a＞0时，a＜b，所以ab＞a^{2}；当a＜0时，b＜a，所以ab＞a^{2}。