题目
求指导本题解题过程，谢谢您！18.计算二重积分 =(iint )_(D)(e)^(x^2)dxdy, 其中D是第一象限中由直线 y=x 和 =(x)^3 所围成的封闭区域.
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题目解答
答案
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解析
步骤 1：确定积分区域D
D是第一象限中由直线 $y=x$ 和 $y=x^3$ 所围成的封闭区域。为了确定积分的上下限，我们需要找到这两条曲线的交点。由于它们都在第一象限，我们只需要考虑 $x \geq 0$ 的情况。解方程 $x = x^3$，得到 $x^3 - x = 0$，即 $x(x^2 - 1) = 0$，解得 $x = 0$ 或 $x = 1$。因此，积分区域D的边界是 $x$ 从0到1，$y$ 从 $x^3$ 到 $x$。
步骤 2：设置二重积分
根据步骤1，我们可以设置二重积分如下：
\[ I = \iint_{D} e^{x^2} \, dxdy = \int_{0}^{1} \int_{x^3}^{x} e^{x^2} \, dy \, dx \]
步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分，即对 $y$ 积分：
\[ \int_{x^3}^{x} e^{x^2} \, dy = e^{x^2} \int_{x^3}^{x} \, dy = e^{x^2} (x - x^3) \]
步骤 4：计算外层积分
接下来计算外层积分，即对 $x$ 积分：
\[ I = \int_{0}^{1} e^{x^2} (x - x^3) \, dx = \int_{0}^{1} e^{x^2} x \, dx - \int_{0}^{1} e^{x^2} x^3 \, dx \]
步骤 5：计算积分
为了计算这两个积分，我们使用分部积分法。首先，对于 $\int_{0}^{1} e^{x^2} x \, dx$，设 $u = x$，$dv = e^{x^2} dx$，则 $du = dx$，$v = \frac{1}{2} e^{x^2}$。因此，我们有：
\[ \int_{0}^{1} e^{x^2} x \, dx = \left[ \frac{1}{2} x e^{x^2} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx \]
对于 $\int_{0}^{1} e^{x^2} x^3 \, dx$，设 $u = x^2$，$dv = e^{x^2} x \, dx$，则 $du = 2x \, dx$，$v = \frac{1}{2} e^{x^2}$。因此，我们有：
\[ \int_{0}^{1} e^{x^2} x^3 \, dx = \left[ \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} e - \int_{0}^{1} e^{x^2} x \, dx \]
步骤 6：合并结果
将步骤5的结果合并，我们得到：
\[ I = \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx - \left( \frac{1}{2} e - \int_{0}^{1} e^{x^2} x \, dx \right) = \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} e + \int_{0}^{1} e^{x^2} x \, dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx \]
\[ I = \frac{1}{2} e - 1 \]
D是第一象限中由直线 $y=x$ 和 $y=x^3$ 所围成的封闭区域。为了确定积分的上下限，我们需要找到这两条曲线的交点。由于它们都在第一象限，我们只需要考虑 $x \geq 0$ 的情况。解方程 $x = x^3$，得到 $x^3 - x = 0$，即 $x(x^2 - 1) = 0$，解得 $x = 0$ 或 $x = 1$。因此，积分区域D的边界是 $x$ 从0到1，$y$ 从 $x^3$ 到 $x$。
步骤 2：设置二重积分
根据步骤1，我们可以设置二重积分如下：
\[ I = \iint_{D} e^{x^2} \, dxdy = \int_{0}^{1} \int_{x^3}^{x} e^{x^2} \, dy \, dx \]
步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分，即对 $y$ 积分：
\[ \int_{x^3}^{x} e^{x^2} \, dy = e^{x^2} \int_{x^3}^{x} \, dy = e^{x^2} (x - x^3) \]
步骤 4：计算外层积分
接下来计算外层积分，即对 $x$ 积分：
\[ I = \int_{0}^{1} e^{x^2} (x - x^3) \, dx = \int_{0}^{1} e^{x^2} x \, dx - \int_{0}^{1} e^{x^2} x^3 \, dx \]
步骤 5：计算积分
为了计算这两个积分，我们使用分部积分法。首先，对于 $\int_{0}^{1} e^{x^2} x \, dx$，设 $u = x$，$dv = e^{x^2} dx$，则 $du = dx$，$v = \frac{1}{2} e^{x^2}$。因此，我们有：
\[ \int_{0}^{1} e^{x^2} x \, dx = \left[ \frac{1}{2} x e^{x^2} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx \]
对于 $\int_{0}^{1} e^{x^2} x^3 \, dx$，设 $u = x^2$，$dv = e^{x^2} x \, dx$，则 $du = 2x \, dx$，$v = \frac{1}{2} e^{x^2}$。因此，我们有：
\[ \int_{0}^{1} e^{x^2} x^3 \, dx = \left[ \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} e - \int_{0}^{1} e^{x^2} x \, dx \]
步骤 6：合并结果
将步骤5的结果合并，我们得到：
\[ I = \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx - \left( \frac{1}{2} e - \int_{0}^{1} e^{x^2} x \, dx \right) = \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} e + \int_{0}^{1} e^{x^2} x \, dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx \]
\[ I = \frac{1}{2} e - 1 \]