题目
设曲线 y = f ( x ) 在原点处的切线方程为 y = 4 x，则lim _(narrow infty )nf(dfrac (4)(n))=（）A.16B.1C.8D.4
设曲线 y = f ( x ) 在原点处的切线方程为 y = 4 x，则
=（）
A.16
B.1
C.8
D.4
题目解答
答案
因为y = f ( x ) 在原点处的切线方程为 y = 4 x
所有f（0）=0，f'(0)=4
而
因此本题答案选A
解析
步骤 1：确定切线方程的斜率
曲线 y = f(x) 在原点处的切线方程为 y = 4x，因此切线的斜率为 4，即 f'(0) = 4。
步骤 2：应用洛必达法则
考虑极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }nf(\dfrac {4}{n})$，可以将其重写为 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {f(\dfrac {4}{n})}{\dfrac {1}{n}}$。当 n 趋向于无穷大时，分子和分母都趋向于 0，因此可以应用洛必达法则。
步骤 3：计算极限
根据洛必达法则，$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {f(\dfrac {4}{n})}{\dfrac {1}{n}} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {f'(\dfrac {4}{n})\cdot (-\dfrac {4}{n^2})}{-\dfrac {1}{n^2}} = \lim _{n\rightarrow \infty }4f'(\dfrac {4}{n})$。由于 f'(0) = 4，当 n 趋向于无穷大时，$\dfrac {4}{n}$ 趋向于 0，因此 $\lim _{n\rightarrow \infty }4f'(\dfrac {4}{n}) = 4f'(0) = 4 \times 4 = 16$。
曲线 y = f(x) 在原点处的切线方程为 y = 4x，因此切线的斜率为 4，即 f'(0) = 4。
步骤 2：应用洛必达法则
考虑极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }nf(\dfrac {4}{n})$，可以将其重写为 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {f(\dfrac {4}{n})}{\dfrac {1}{n}}$。当 n 趋向于无穷大时，分子和分母都趋向于 0，因此可以应用洛必达法则。
步骤 3：计算极限
根据洛必达法则，$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {f(\dfrac {4}{n})}{\dfrac {1}{n}} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {f'(\dfrac {4}{n})\cdot (-\dfrac {4}{n^2})}{-\dfrac {1}{n^2}} = \lim _{n\rightarrow \infty }4f'(\dfrac {4}{n})$。由于 f'(0) = 4，当 n 趋向于无穷大时，$\dfrac {4}{n}$ 趋向于 0，因此 $\lim _{n\rightarrow \infty }4f'(\dfrac {4}{n}) = 4f'(0) = 4 \times 4 = 16$。