五、证明题(6分)53.f(x)是[-(pi)/(4),(pi)/(4)]上的连续奇函数，且在(-(pi)/(4),(pi)/(4))上可导，证明：f(x)在(-(pi)/(4),(pi)/(4))至少存在一点ξ，使得f'(ξ)sin2ξ=-2f(ξ)

为了证明 $ f(x) $ 在 $ \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) $ 上至少存在一点 $ \xi $，使得 $ f'(\xi) \sin 2\xi = -2f(\xi) $，我们首先定义一个辅助函数。令 $ g(x) = f(x) \sin 2x $。由于 $ f(x) $ 在 $ \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] $ 上连续，在 $ \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) $ 上可导，且 $ \sin 2x $ 在 $ \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] $ 上连续，在 $ \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) $ 上可导，因此 $ g(x) $ 在 $ \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] $ 上连续，在 $ \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) $ 上可导。 接下来，我们计算 $ g \left( -\frac{\pi}{4} \right) $ 和 $ g \left( \frac{\pi}{4} \right) $： \[ g \left( -\frac{\pi}{4} \right) = f \left( -\frac{\pi}{4} \right) \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = f \left( -\frac{\pi}{4} \right) \cdot (-1) = -f \left( -\frac{\pi}{4} \right). \] 由于 $ f(x) $ 是奇函数，有 $ f \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -f \left( \frac{\pi}{4} \right) $，因此 \[ g \left( -\frac{\pi}{4} \right) = - \left( -f \left( \frac{\pi}{4} \right) \right) = f \left( \frac{\pi}{4} \right). \] 同样地， \[ g \left( \frac{\pi}{4} \right) = f \left( \frac{\pi}{4} \right) \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = f \left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot 1 = f \left( \frac{\pi}{4} \right). \] Thus, $ g \left( -\frac{\pi}{4} \right) = g \left( \frac{\pi}{4} \right) $. 根据罗尔定理，由于 $ g(x) $ 在 $ \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] $ 上连续，在 $ \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) $ 上可导，且 $ g \left( -\frac{\pi}{4} \right) = g \left( \frac{\pi}{4} \right) $，因此在 $ \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) $ 上至少存在一点 $ \xi $，使得 $ g'(\xi) = 0 $。 现在，我们计算 $ g'(x) $： \[ g'(x) = f'(x) \sin 2x + f(x) \cdot 2 \cos 2x. \] 设 $ \xi $ 是 $ \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) $ 上使得 $ g'(\xi) = 0 $ 的点，则 \[ f'(\xi) \sin 2\xi + 2f(\xi) \cos 2\xi = 0. \] 由于 $ \cos 2\xi = \sqrt{1 - \sin^2 2\xi} $（在 $ \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) $ 上 $ \cos 2\xi $ 为正），我们可以将 $ \cos 2\xi $ 用 $ \sin 2\xi $ 表示，但这里我们直接使用 $ \cos 2\xi $ 的值。将 $ \cos 2\xi $ 移到等式右边，得到 \[ f'(\xi) \sin 2\xi = -2f(\xi) \cos 2\xi. \] 由于 $ \cos 2\xi = \sqrt{1 - \sin^2 2\xi} $ 且 $ \cos 2\xi $ 为正，我们有 \[ f'(\xi) \sin 2\xi = -2f(\xi) \sqrt{1 - \sin^2 2\xi}. \] 如果 $ \sin 2\xi = 1 $ 或 $ \sin 2\xi = -1 $，则 $ \cos 2\xi = 0 $，等式 $ f'(\xi) \sin 2\xi + 2f(\xi) \cos 2\xi = 0 $ 仍然成立，但 $ \sin 2\xi $ 为 $ \pm 1 $ 时 $ \cos 2\xi = 0 $ 使得 $ \cos 2\xi $ 项消失，等式简化为 $ f'(\xi) \sin 2\xi = 0 $。由于 $ \sin 2\xi $ 为 $ \pm 1 $ 时 $ \sin 2\xi \neq 0 $，因此 $ f'(\xi) = 0 $。但 $ f'(\xi) \sin 2\xi = -2f(\xi) $ 也成立，因为 $ f(\xi) = 0 $（因为 $ f(x) $ 是奇函数， $ f(0) = 0 $）。 因此， $ f'(\xi) \sin 2\xi = -2f(\xi) $ 仍然成立。 综上所述， $ f(x) $ 在 $ \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) $ 上至少存在一点 $ \xi $ 使得 $ f'(\xi) \sin 2\xi = -2f(\xi) $。 \[ \boxed{f'(\xi) \sin 2\xi = -2f(\xi)} \]