题目

下列属于第二类曲面积分的性质有（假设积分都存在） A 若Sigma可分为分片光滑的曲面Sigma_1及Sigma_2，则 [ iint_(Sigma) f(x,y,z), dS = iint_(Sigma_1) f(x,y,z), dS + iint_(Sigma_2) f(x,y,z), dS. ] B 设k_1,k_2为常数，则 [ iint_(Sigma) [k_1 f(x,y,z)pm k_2 g(x,y,z)] , dS = k_1 iint_(Sigma) f(x,y,z), dS pm k_2 iint_(Sigma) g(x,y,z), dS ] C 若Sigma = bigcup_(i=1)^k Sigma_i，且Sigma_i之间无公共内点，则 [ iint_(Sigma) vec(A) cdot dvec(S) = sum_(i=1)^k iint_(Sigma_i) vec(A) cdot dvec(S) ] D 用Sigma^-表示Sigma的反向曲面，则 [ iint_(Sigma^-) vec(A) cdot dvec(S) = -iint_(Sigma) vec(A) cdot dvec(S) ] E 垂直性: - Sigma perp xoy面 Rightarrow iint_(Sigma) R(x,y,z), dx dy = 0 - Sigma perp yoz面 Rightarrow iint_(Sigma) P(x,y,z), dy dz = 0 - Sigma perp xoz面 Rightarrow iint_(Sigma) Q(x,y,z), dx dz = 0

下列属于第二类曲面积分的性质有（假设积分都存在）

A 若$\Sigma$可分为分片光滑的曲面$\Sigma_1$及$\Sigma_2$，则
$
\iint_{\Sigma} f(x,y,z)\, dS = \iint_{\Sigma_1} f(x,y,z)\, dS + \iint_{\Sigma_2} f(x,y,z)\, dS.
$

B 设$k_1,k_2$为常数，则
$
\iint_{\Sigma} [k_1 f(x,y,z)\pm k_2 g(x,y,z)] \, dS = k_1 \iint_{\Sigma} f(x,y,z)\, dS \pm k_2 \iint_{\Sigma} g(x,y,z)\, dS
$

C 若$\Sigma = \bigcup_{i=1}^{k} \Sigma_i$，且$\Sigma_i$之间无公共内点，则
$
\iint_{\Sigma} \vec{A} \cdot d\vec{S} = \sum_{i=1}^{k} \iint_{\Sigma_i} \vec{A} \cdot d\vec{S}
$

D 用$\Sigma^-$表示$\Sigma$的反向曲面，则
$
\iint_{\Sigma^-} \vec{A} \cdot d\vec{S} = -\iint_{\Sigma} \vec{A} \cdot d\vec{S}
$

E 垂直性:
- $\Sigma \perp xoy$面 $\Rightarrow$ $\iint_{\Sigma} R(x,y,z)\, dx dy = 0$
- $\Sigma \perp yoz$面 $\Rightarrow$ $\iint_{\Sigma} P(x,y,z)\, dy dz = 0$
- $\Sigma \perp xoz$面 $\Rightarrow$ $\iint_{\Sigma} Q(x,y,z)\, dx dz = 0$

题目解答

答案

为了确定哪些性质属于第二类曲面积分，我们需要理解第二类曲面积分的定义和性质。第二类曲面积分是向量场通过曲面的通量，可以表示为 $\iint_{\sum} \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{dS}$，其中 $\overrightarrow{A}$ 是向量场，$\overrightarrow{dS}$ 是曲面的定向面积元素。让我们分析每个选项： A. $\iint_{\sum} f(x,y,z) dS = \iint_{\sum_1} f(x,y,z) dS + \iint_{\sum_2} f(x,y,z) dS$ 这个性质是第一类曲面积分的性质，而不是第二类曲面积分的性质。第一类曲面积分是标量函数在曲面上的积分，没有考虑曲面的定向。 B. $\iint_{\sum} [k_1 f(x,y,z) \pm k_2 g(x,y,z)] dS = k_1 \iint_{\sum} f(x,y,z) dS \pm k_2 \iint_{\sum} g(x,y,z) dS$ 这个性质也是第一类曲面积分的性质，而不是第二类曲面积分的性质。 C. $\iint_{\sum} \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{dS} = \sum_{i=1}^{k} \iint_{\sum_i} \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{dS}$ 这个性质是第二类曲面积分的性质。它表明如果曲面 $\sum$ 可以分为多个分片光滑的曲面 $\sum_i$，那么向量场通过 $\sum$ 的通量等于向量场通过每个 $\sum_i$ 的通量之和。 D. $\iint_{\sum^{-}} \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{dS} = - \iint_{\sum} \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{dS}$ 这个性质是第二类曲面积分的性质。它表明如果曲面的定向改变，那么向量场通过曲面的通量也改变符号。 E. 垂直性： \[ \sum \perp xoy \text{ 面} \quad \Rightarrow \quad \iint_{\sum} R(x,y,z) dxdy = 0 \] \[ \sum \perp yoz \text{ 面} \quad \Rightarrow \quad \iint_{\sum} P(x,y,z) dydz = 0 \] \[ \sum \perp xoz \text{ 面} \quad \Rightarrow \quad \iint_{\sum} Q(x,y,z) dxdz = 0 \] 这些性质是第二类曲面积分的性质。它们表明如果曲面与某个坐标面垂直，那么在该坐标面的投影上的积分等于零。因此，属于第二类曲面积分的性质有 C, D, 和 E。答案是 $\boxed{C, D, E}$。