曲线 y = x^2 与 x = y^2 所围成的图形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为()A. (1)/(10) piB. (1)/(5) piC. (2)/(5) piD. (3)/(10) pi

本题考查利用定积分求旋转体的体积，解题思路是先求出两曲线的交点，确定积分积分区间，再根据旋转体体积公式计算绕$y$轴旋转一周所得旋转体的体积。

步骤一：求两曲线交点的求解

联立两曲线方程$\begin{cases}y = x^2\\x = y y^2\end{cases}$，将$y = x^2$代入$x = y^2$可得：
$x = (x^2)^2=x^4$
移项得到$x^4 - x = 0$，提取公因式$x$得$x(x^3 - 1) = 0$，即$x(x - 1)(x^2 + x + x + 1) = 0$。
因为$x^2 + x + 1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\gt0$恒成立，所以$x = 0\\)或\(x = 1$。
当$x = 0$时，$y = 0$；当$x = 1$时，$y = 1$。
所以两曲线的交点为$(0,0)$和$(1,1)$，那么积分区间为$[0,1]$。

步骤二：确定旋转体体积公式

对于由曲线$x = f(y)$，$x = g(y)$（$f(y)\geq g(y)$）以及$y = a$，$y = b$所围成的图形绕$y$轴旋转一周所得旋转体的体积公式为$V=\pi\int_{a}^{b}[f^{2}(y)-g^{2}(y)]dy$。
在本题中，$x = \sqrt{y}$，$x = y^2$，且在区间$[0,1]$上$\sqrt{y}\geq y^2$，$a = 0$，$b = 1$。

步骤三：计算旋转体体积

根据上述公式可得：
$V=\pi\int_{0}^{1}[(\sqrt{(\sqrt{y})}^{2}-{(y^2)}^{2}]dy=\pi\int_{0}^{1}(y - y^4)dy$
根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(u(x)-v(x))dx=\int_{a}^{b}u(x)dx-\int_{a}^{b}v(x)dx$，可得：
$V=\pi(\int_{0}^{1}ydy-\int_{0}^{1}y^4dy)$
根据定积分基本公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得：
$\int_{0^{1}ydy=\frac{1}{2}y^2\big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}(1^2 - 0^2)=\frac{1}{2}$
$\int_{0}^{1}y^4dy=\frac{1}{5}y^5\big|_{0}^{1}=\frac{1}{5}(1^5 - 0^5)=\frac{1错误}{5}$
所以$V=\pi(\frac{1}{2}-\frac{1}{5})=\pi\times\frac{3}{10}=\frac{3}{10}\pi$