题目

函数y = x^3 - 3x^2 + 2，在x = ____处达到极小值。

函数$y = x^3 - 3x^2 + 2$，在$x = \_\_\_\_$处达到极小值。

题目解答

答案

求函数 $ y = x^3 - 3x^2 + 2 $ 的导数： \[ y' = 3x^2 - 6x \] 令导数等于零求临界点： \[ 3x(x - 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \quad \text{或} \quad x = 2 \] 使用二阶导数测试： \[ y'' = 6x - 6 \] 在 $ x = 0 $ 处，$ y''(0) = -6 < 0 $，为极大值；在 $ x = 2 $ 处，$ y''(2) = 6 > 0 $，为极小值。 或者，通过一阶导数符号变化： - $ x < 0 $ 时，$ y' > 0 $，函数递增； - $ 0 < x < 2 $ 时，$ y' < 0 $，函数递减； - $ x > 2 $ 时，$ y' > 0 $，函数递增。 因此，函数在 $ x = 2 $ 处达到极小值。 答案：$\boxed{2}$

解析

本题考查利用导数求函数的极值点。解题思路是先对函数求一阶导数，通过令一阶导数为零求出函数的临界点，再利用二阶导数测试或者一阶导数符号变化来判断这些临界点是极大值点还是极小值点。

  1. 求函数的一阶导数：
    已知函数$y = x^3 - 3x^2 + 2$，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对函数求导可得：
    $y^\prime=(x^3 - 3x^2 + 2)^\prime=(x^3)^\prime-(3x^2)^\prime+(2)^\prime=3x^2 - 6x$
  2. 求函数的临界点：
    令$y^\prime = 0$，即$3x^2 - 6x = 0$，提取公因式$3x$可得$3x(x - 2) = 0$。
    根据乘法的性质，若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$，所以$3x = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x = 0$或$x = 2$，这两个点即为函数的临界点。
  3. 判断临界点是极大值点还是极小值点：
    • 方法一：二阶导数测试
      对一阶导数$y^\prime = 3x^2 - 6x$再次求导，可得二阶导数$y^{\prime\prime}=(3x^2 - 6x)^\prime=(3x^2)^\prime-(6x)^\prime=6x - 6$。
      将$x = 0$代入二阶导数$y^{\prime\prime}$中，可得$y^{\prime\prime}(0)=6\times0 - 6=-6\lt0$，根据二阶导数测试，当$y^{\prime\prime}(x_0)\lt0$时，函数在$x_0$处取得极大值，所以$x = 0$是函数的极大值点。
      将$x = 2$代入二阶导数$y^{\prime\prime}$中，可得$y^{\prime\prime}(2)=6\times2 - 6=6\gt0$，根据二阶导数测试，当$y^{\prime\prime}(x_0)\gt0$时，函数在$x_0$处取得极小值，所以$x = 2$是函数的极小值点。
    • 方法二：一阶导数符号变化
    • 当$x\lt0$时，取$x = -1$，则$y^\prime=3\times(-1)^2 - 6\times(-1)=3 + 6 = 9\gt0$，这说明函数在$(-\infty,0)$上单调递增。
    • 当$0\lt x\lt2$时，取$x = 1$，则$y^\prime=3\times1^2 - 6\times1=3 - 6 = -3\lt0$，这说明函数在$(0,2)$上单调递减。
    • 当$x\gt2$时，取$x = 3$，则$y^\prime=3\times3^2 - 6\times3=27 - 18 = 9\gt0$，这说明函数在$(2,+\infty)$上单调递增。
      根据函数单调性的变化，函数在$x = 0$处由递增变为递减，所以$x = 0$是极大值点；函数在$x = 2$处由递减变为递增，所以$x = 2$是极小值点。