设函数f(x)在(-∞，+∞)存在二阶导数，且f(x)=-f(-x)，当x＜0时有f'(x)＜0，f"(x)＞0，则当x＞0时，有：A. f'(x)＜0，f"(x)＞0．B. f'(x)＞0，f"(x)＜0．C. f'(x)＞0，f"(x)＞0．D. f'(x)＜0，f"(x)＜0．

考查要点：本题主要考查奇函数的导数性质、导数符号与函数单调性及凹凸性的关系。

解题核心思路：

1. 奇函数的导数性质：若$f(x)$是奇函数，则其一阶导数$f'(x)$为偶函数，二阶导数$f''(x)$为奇函数。
2. 符号推导：利用$x>0$时的变量替换$x \to -x$，结合已知$x<0$时的导数符号，通过奇偶性推导$x>0$时的导数符号。

破题关键点：

• 奇函数导数的奇偶性：通过求导规则确定$f'(x)$和$f''(x)$的奇偶性。
• 符号转化：将$x>0$的情况转化为$x<0$的情况，结合已知条件推导符号。

步骤1：分析奇函数的导数性质

已知$f(x)$是奇函数，即$f(-x) = -f(x)$。对两边求导：
$f'(-x) \cdot (-1) = -f'(x) \implies f'(-x) = f'(x),$
说明$f'(x)$是偶函数。

对$f'(x)$再次求导：
$f''(-x) \cdot (-1) = f''(x) \implies f''(-x) = -f''(x),$
说明$f''(x)$是奇函数。

步骤2：推导$x>0$时的$f'(x)$符号

当$x>0$时，令$x = -t$（其中$t<0$），则：
$f'(x) = f'(-t) = f'(t).$
已知当$t<0$时，$f'(t) < 0$，因此：
$f'(x) = f'(t) < 0.$

步骤3：推导$x>0$时的$f''(x)$符号

由$f''(x)$是奇函数，当$x>0$时：
$f''(x) = -f''(-x).$
令$x = -t$（其中$t<0$），则：
$f''(-t) = f''(t).$
已知当$t<0$时，$f''(t) > 0$，因此：
$f''(x) = -f''(t) = -\text{正数} < 0.$

结论：当$x>0$时，$f'(x) < 0$，$f''(x) < 0$，对应选项D。