题目
设a为有理数,x为无理数,证明: (1)a+x是无理数。 (2)当a≠0时,ax是无理数。
设$$a$$为有理数,$$x$$为无理数,证明:
(1)$$a+x$$是无理数。
(2)当$$a≠0$$时,$$ax$$是无理数。
题目解答
答案
(1)任何有理数都可以表示成$$q\over p$$的形式$$(p,q$$都是整数$$)$$，反过来也一样，任何形如$${q\over p}(p,q$$都是整数$$)$$的数都是有理数，$$a$$为有理数, 则$$a={q\over p}$$，如果$$a+x$$是有理数,那么$$a+x={{q^,}\over {p^,}}$$，, $$x={{q^,}\over {p^,}}-a=$$$${{q^,}\over {p^,}}-{{q}\over {p}}$$$$={{pq^,-qp^,}\over pp^,}$$，那么$$x$$是有理数，这与$$x$$为无理数矛盾，所以$$a+x$$为无理数。
(2)如果$$ax$$是有理数,那么$$ax={{q^,}\over {p^,}}$$，$$x={pq^,\over qp^,}$$，则$$x$$是有理数，这与$$x$$为无理数矛盾，所以当$$a≠0$$时,$$ax$$是无理数。
解析
步骤 1：证明$$a+x$$是无理数
- 假设$$a+x$$是有理数，那么可以表示为$$\frac{m}{n}$$，其中$$m$$和$$n$$是整数，且$$n \neq 0$$。
- 由于$$a$$是有理数，可以表示为$$\frac{p}{q}$$，其中$$p$$和$$q$$是整数，且$$q \neq 0$$。
- 那么$$x = \frac{m}{n} - \frac{p}{q} = \frac{mq - np}{nq}$$，这表示$$x$$是有理数，与$$x$$为无理数矛盾。
- 因此，$$a+x$$是无理数。
步骤 2：证明当$$a≠0$$时，$$ax$$是无理数
- 假设$$ax$$是有理数，那么可以表示为$$\frac{m}{n}$$，其中$$m$$和$$n$$是整数，且$$n \neq 0$$。
- 由于$$a$$是有理数，可以表示为$$\frac{p}{q}$$，其中$$p$$和$$q$$是整数，且$$q \neq 0$$。
- 那么$$x = \frac{m}{n} \cdot \frac{q}{p} = \frac{mq}{np}$$，这表示$$x$$是有理数，与$$x$$为无理数矛盾。
- 因此，当$$a≠0$$时，$$ax$$是无理数。
- 假设$$a+x$$是有理数，那么可以表示为$$\frac{m}{n}$$，其中$$m$$和$$n$$是整数，且$$n \neq 0$$。
- 由于$$a$$是有理数，可以表示为$$\frac{p}{q}$$，其中$$p$$和$$q$$是整数，且$$q \neq 0$$。
- 那么$$x = \frac{m}{n} - \frac{p}{q} = \frac{mq - np}{nq}$$，这表示$$x$$是有理数，与$$x$$为无理数矛盾。
- 因此，$$a+x$$是无理数。
步骤 2：证明当$$a≠0$$时，$$ax$$是无理数
- 假设$$ax$$是有理数，那么可以表示为$$\frac{m}{n}$$，其中$$m$$和$$n$$是整数，且$$n \neq 0$$。
- 由于$$a$$是有理数，可以表示为$$\frac{p}{q}$$，其中$$p$$和$$q$$是整数，且$$q \neq 0$$。
- 那么$$x = \frac{m}{n} \cdot \frac{q}{p} = \frac{mq}{np}$$，这表示$$x$$是有理数，与$$x$$为无理数矛盾。
- 因此，当$$a≠0$$时，$$ax$$是无理数。