设a为有理数,x为无理数,证明: (1)a+x是无理数。 (2)当a≠0时,ax是无理数。
设$$a$$为有理数,$$x$$为无理数,证明:
(1)$$a+x$$是无理数。
(2)当$$a≠0$$时,$$ax$$是无理数。
题目解答
答案
(1)任何有理数都可以表示成$$q\over p$$的形式$$(p,q$$都是整数$$)$$，反过来也一样，任何形如$${q\over p}(p,q$$都是整数$$)$$的数都是有理数，$$a$$为有理数, 则$$a={q\over p}$$，如果$$a+x$$是有理数,那么$$a+x={{q^,}\over {p^,}}$$，, $$x={{q^,}\over {p^,}}-a=$$$${{q^,}\over {p^,}}-{{q}\over {p}}$$$$={{pq^,-qp^,}\over pp^,}$$，那么$$x$$是有理数，这与$$x$$为无理数矛盾，所以$$a+x$$为无理数。
(2)如果$$ax$$是有理数,那么$$ax={{q^,}\over {p^,}}$$，$$x={pq^,\over qp^,}$$，则$$x$$是有理数，这与$$x$$为无理数矛盾，所以当$$a≠0$$时,$$ax$$是无理数。
解析
考查要点：本题主要考查有理数与无理数的运算性质，特别是加法与乘法的封闭性。
解题核心思路：通过反证法，假设结论不成立，推导出与已知条件矛盾的结论。
关键点：
- 有理数的加减乘除运算封闭，即两个有理数经过这些运算后结果仍是有理数。
- 无理数的定义：不能表示为两个整数之比的数。
第（1）题
目标：证明有理数$a$与无理数$x$的和$a+x$是无理数。
假设$a+x$是有理数
若$a+x$是有理数，则存在整数$p', q'$使得$a+x = \dfrac{q'}{p'}$。
推导$x$的表达式
由$a = \dfrac{q}{p}$（$a$为有理数），得：
$x = (a+x) - a = \dfrac{q'}{p'} - \dfrac{q}{p} = \dfrac{pq' - qp'}{pp'}$
矛盾分析
$x$的表达式为两个整数之比，说明$x$是有理数，与已知$x$为无理数矛盾。
结论：假设不成立，故$a+x$必为无理数。
第（2）题
目标：证明非零有理数$a$与无理数$x$的乘积$ax$是无理数。
假设$ax$是有理数
若$ax$是有理数，则存在整数$p', q'$使得$ax = \dfrac{q'}{p'}$。
推导$x$的表达式
由$a \neq 0$，得：
$x = \dfrac{ax}{a} = \dfrac{q'/p'}{q/p} = \dfrac{pq'}{qp'}$
矛盾分析
$x$的表达式为两个整数之比，说明$x$是有理数，与已知$x$为无理数矛盾。
结论：假设不成立，故$ax$必为无理数。