题目
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f^1/2[f(x)-x]dx= f(0), '(1)=0,证明:(1)存在f^1/2[f(x)-x]dx= f(0), '(1)=0,;(2)对于(1)中的f^1/2[f(x)-x]dx= f(0), '(1)=0,,f^1/2[f(x)-x]dx= f(0), '(1)=0,
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且
证明:
(1)存在
;
(2)对于(1)中的
,
题目解答
答案
首先由题目给的f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导的条件可知本题应该使用中值定理来证明（包括罗尔中值定理与拉格朗日中值定理）
（1）存在等价于存在
,所以要构造一个函数使其导数等于
,再利用罗尔定理证明。
令
显然g(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且有
故由罗尔定理可知存在
成立
即
成立
得到
再令函数
,显然
在
上连续，在
内可导，且有
故对函数在利用罗尔定理可得
存在
成立
即存在。
（2）考虑函数
,显然在
上连续，在
内可导，由拉格朗日中值定理可得
成立。
解析
步骤 1：构造辅助函数
为了证明存在$\xi \in (0,1)$ 使得 $f'(\xi )=1$，我们构造一个辅助函数$g(x)$，使得$g'(x)=f'(x)-1$。这样，如果能证明$g(x)$在$(0,1)$内存在零点，那么根据罗尔定理，$g'(x)$在$(0,1)$内存在零点，即$f'(\xi )=1$。
步骤 2：定义辅助函数
定义$g(x)={\int }_{0}^{x}[ f(t)-t] dt-xf(0)$。显然，$g(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导。
步骤 3：验证辅助函数的性质
计算$g(0)$和$g(\frac{1}{2})$的值，得到$g(0)=0$和$g(\frac{1}{2})=0$。根据罗尔定理，存在$\xi_1 \in (0,\frac{1}{2})$使得$g'(\xi_1)=0$，即$f(\xi_1)-\xi_1-f(0)=0$，从而$f(\xi_1)-\xi_1=f(0)$。
步骤 4：构造另一个辅助函数
定义$h(x)=f(x)-x$，显然$h(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$h(0)=h(\xi_1)=f(0)$。根据罗尔定理，存在$\xi \in (0,1)$使得$h'(\xi)=0$，即$f'(\xi)-1=0$，从而$f'(\xi)=1$。
步骤 5：证明第二部分
考虑函数$f'(x)$，它在$[\xi,1]$上连续，在$(\xi,1)$内可导。根据拉格朗日中值定理，存在$\eta \in (\xi,1)$使得$f''(\eta)=\frac{f'(\xi)-f'(1)}{\xi-1}=\frac{1}{\xi-1}$。
为了证明存在$\xi \in (0,1)$ 使得 $f'(\xi )=1$，我们构造一个辅助函数$g(x)$，使得$g'(x)=f'(x)-1$。这样，如果能证明$g(x)$在$(0,1)$内存在零点，那么根据罗尔定理，$g'(x)$在$(0,1)$内存在零点，即$f'(\xi )=1$。
步骤 2：定义辅助函数
定义$g(x)={\int }_{0}^{x}[ f(t)-t] dt-xf(0)$。显然，$g(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导。
步骤 3：验证辅助函数的性质
计算$g(0)$和$g(\frac{1}{2})$的值，得到$g(0)=0$和$g(\frac{1}{2})=0$。根据罗尔定理，存在$\xi_1 \in (0,\frac{1}{2})$使得$g'(\xi_1)=0$，即$f(\xi_1)-\xi_1-f(0)=0$，从而$f(\xi_1)-\xi_1=f(0)$。
步骤 4：构造另一个辅助函数
定义$h(x)=f(x)-x$，显然$h(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$h(0)=h(\xi_1)=f(0)$。根据罗尔定理，存在$\xi \in (0,1)$使得$h'(\xi)=0$，即$f'(\xi)-1=0$，从而$f'(\xi)=1$。
步骤 5：证明第二部分
考虑函数$f'(x)$，它在$[\xi,1]$上连续，在$(\xi,1)$内可导。根据拉格朗日中值定理，存在$\eta \in (\xi,1)$使得$f''(\eta)=\frac{f'(\xi)-f'(1)}{\xi-1}=\frac{1}{\xi-1}$。