给出以下4个极限① lim_(x to 1) (x)/(e^x-1).② lim_(x to 0) arctan (1)/(x - sin x).③ lim_(x to 0) arctan (1)/(x - ln(1+x)).④ lim_(x to 0) x arctan (1)/(x).其中极限不存在的个数为( )(A) 1.(B) 2.(C) 3.(D) 4.
给出以下4个极限 ① $\lim_{x \to 1} \frac{x}{e^{x-1}}$. ② $\lim_{x \to 0} \arctan \frac{1}{x - \sin x}$. ③ $\lim_{x \to 0} \arctan \frac{1}{x - \ln(1+x)}$. ④ $\lim_{x \to 0} x \arctan \frac{1}{x}$. 其中极限不存在的个数为( ) (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.
题目解答
答案
我们来逐个分析这四个极限，判断每个极限是否存在，并最终统计极限不存在的个数。
① $\lim_{x \to 1} \frac{x}{e^{x-1}}$
我们直接代入 $x = 1$ 看看：
$\frac{1}{e^{1-1}} = \frac{1}{e^0} = \frac{1}{1} = 1$
函数 $\frac{x}{e^{x-1}}$ 在 $x=1$ 处是连续的（分子分母都连续，分母不为零），所以极限存在且等于函数值。
✅ 极限存在，值为 1。
② $\lim_{x \to 0} \arctan \frac{1}{x - \sin x}$
我们分析 $x \to 0$ 时，分母 $x - \sin x$ 的行为。
利用泰勒展开：
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)
\Rightarrow x - \sin x = x - \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) = \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
所以当 $x \to 0$ 时，$x - \sin x \sim \frac{x^3}{6}$，是比 $x$ 高阶的无穷小，且符号与 $x^3$ 相同。
因此：
$\frac{1}{x - \sin x} \sim \frac{1}{x^3/6} = \frac{6}{x^3}$
当 $x \to 0^+$ 时，$x^3 > 0$，所以 $\frac{1}{x - \sin x} \to +\infty$
当 $x \to 0^-$ 时，$x^3 < 0$，所以 $\frac{1}{x - \sin x} \to -\infty$
于是：
- $\lim_{x \to 0^+} \arctan\left(\frac{1}{x - \sin x}\right) = \arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}$
- $\lim_{x \to 0^-} \arctan\left(\frac{1}{x - \sin x}\right) = \arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2}$
左右极限存在但不相等，因此 整体极限不存在。
❌ 极限不存在。
③ $\lim_{x \to 0} \arctan \frac{1}{x - \ln(1+x)}$
我们分析 $x - \ln(1+x)$ 在 $x \to 0$ 时的行为。
泰勒展开：
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots
\Rightarrow x - \ln(1+x) = x - \left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots\right) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \cdots \sim \frac{x^2}{2}$
所以 $x - \ln(1+x) \sim \frac{x^2}{2} > 0$，当 $x \to 0$ 且 $x \ne 0$ 时，这个量是正的（因为 $x^2$ 恒正，高阶项影响小）。
因此：
$\frac{1}{x - \ln(1+x)} \sim \frac{2}{x^2} \to +\infty \quad (x \to 0)$
无论 $x \to 0^+$ 还是 $x \to 0^-$，$x^2 > 0$，所以 $\frac{1}{x - \ln(1+x)} \to +\infty$
于是：
$\arctan\left(\frac{1}{x - \ln(1+x)}\right) \to \arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}$
左右极限都为 $\frac{\pi}{2}$，所以极限存在。
✅ 极限存在，值为 $\frac{\pi}{2}$。
④ $\lim_{x \to 0} x \arctan \frac{1}{x}$
我们分析这个极限。
令 $y = \frac{1}{x}$，当 $x \to 0^+$ 时，$y \to +\infty$；当 $x \to 0^-$ 时，$y \to -\infty$
所以表达式变为：
$x \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{y} \arctan y$
我们考虑 $y \to \pm\infty$ 时 $\frac{\arctan y}{y}$ 的极限。
已知：
- $\lim_{y \to +\infty} \arctan y = \frac{\pi}{2}$
- $\lim_{y \to -\infty} \arctan y = -\frac{\pi}{2}$
所以：
- 当 $x \to 0^+$，$y \to +\infty$，$\frac{1}{y} \arctan y \to 0 \cdot \frac{\pi}{2} = 0$
- 当 $x \to 0^-$，$y \to -\infty$，$\frac{1}{y} \arctan y \to 0 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = 0$
更严格地：
$\left| \arctan \frac{1}{x} \right| \leq \frac{\pi}{2}, \quad \text{而 } |x| \to 0
\Rightarrow \left| x \arctan \frac{1}{x} \right| \leq |x| \cdot \frac{\pi}{2} \to 0$
由夹逼定理，极限为 0。
✅ 极限存在，值为 0。
总结：
- ① 极限存在
- ② 极限不存在（左右极限不等）
- ③ 极限存在
- ④ 极限存在
所以，极限不存在的个数为 1 个。
答案：$\boxed{\text{(A) } 1}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的存在性判断，涉及分式函数、反三角函数、泰勒展开、左右极限及夹逼定理的应用。
解题核心思路：
- 直接代入法：对于连续点处的极限，可直接代入计算。
- 泰勒展开：分析分母在无穷小量下的阶数，判断分式趋势。
- 左右极限比较：当分式分母符号随趋近方向变化时，需分别计算左右极限。
- 无穷小量与有界函数乘积：利用夹逼定理判断极限是否存在。
破题关键点：
- ①：分母在$x=1$处连续且非零，直接代入即可。
- ②：利用泰勒展开分析$x-\sin x$的高阶无穷小性质，导致分式分母符号随趋近方向改变，左右极限不相等。
- ③：通过泰勒展开分析$x-\ln(1+x)$的正定性，分式分母始终为正，左右极限一致。
- ④：利用有界函数与无穷小量乘积的性质，结合夹逼定理判断极限为0。
① $\lim_{x \to 1} \frac{x}{e^{x-1}}$
直接代入法：
当$x=1$时，分母$e^{1-1}=1$，分子为$1$，故极限值为$\frac{1}{1}=1$。
结论：极限存在，值为$1$。
② $\lim_{x \to 0} \arctan \frac{1}{x - \sin x}$
泰勒展开分析：
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，故$x - \sin x = \frac{x^3}{6} + o(x^3)$。
- 当$x \to 0^+$时，$x^3 > 0$，分母趋近于$0^+$，$\frac{1}{x - \sin x} \to +\infty$，$\arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}$。
- 当$x \to 0^-$时，$x^3 < 0$，分母趋近于$0^-$，$\frac{1}{x - \sin x} \to -\infty$，$\arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2}$。
结论：左右极限不相等，极限不存在。
③ $\lim_{x \to 0} \arctan \frac{1}{x - \ln(1+x)}$
泰勒展开分析：
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，故$x - \ln(1+x) = \frac{x^2}{2} + o(x^2)$。
无论$x \to 0^+$或$x \to 0^-$，分母$x - \ln(1+x) \sim \frac{x^2}{2} > 0$，$\frac{1}{x - \ln(1+x)} \to +\infty$，$\arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}$。
结论：左右极限均为$\frac{\pi}{2}$，极限存在。
④ $\lim_{x \to 0} x \arctan \frac{1}{x}$
变量代换与夹逼定理：
令$y = \frac{1}{x}$，则$x = \frac{1}{y}$，原式变为$\frac{\arctan y}{y}$。
- 当$y \to +\infty$时，$\arctan y \to \frac{\pi}{2}$，$\frac{\arctan y}{y} \to 0$。
- 当$y \to -\infty$时，$\arctan y \to -\frac{\pi}{2}$，$\frac{\arctan y}{y} \to 0$。
结论：左右极限均为$0$，极限存在。