题目
求积公式(int )_(0)^2f(x)dxapprox dfrac (1)(3)f(0)+dfrac (4)(3)f(1)+dfrac (1)(3)f(2)的代数精确度为( )。A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
求积公式
的代数精确度为( )。
B. 2
C. 3
D. 4
题目解答
答案
C. 3
解析
步骤 1：理解代数精确度
代数精确度是指求积公式能够准确计算多项式函数的积分的最大次数。如果求积公式对于所有次数不超过n的多项式函数都能准确计算积分，但对某个n+1次多项式函数不能准确计算积分，则称该求积公式的代数精确度为n。
步骤 2：验证求积公式对常数函数的精确度
对于常数函数$f(x)=1$，有${\int }_{0}^{2}1dx=2$，而$\dfrac {1}{3}f(0)+\dfrac {4}{3}f(1)+\dfrac {1}{3}f(2)=\dfrac {1}{3}+\dfrac {4}{3}+\dfrac {1}{3}=2$，所以求积公式对于常数函数是精确的。
步骤 3：验证求积公式对一次函数的精确度
对于一次函数$f(x)=x$，有${\int }_{0}^{2}xdx=2$，而$\dfrac {1}{3}f(0)+\dfrac {4}{3}f(1)+\dfrac {1}{3}f(2)=\dfrac {1}{3}\times 0+\dfrac {4}{3}\times 1+\dfrac {1}{3}\times 2=2$，所以求积公式对于一次函数也是精确的。
步骤 4：验证求积公式对二次函数的精确度
对于二次函数$f(x)=x^2$，有${\int }_{0}^{2}x^2dx=\dfrac {8}{3}$，而$\dfrac {1}{3}f(0)+\dfrac {4}{3}f(1)+\dfrac {1}{3}f(2)=\dfrac {1}{3}\times 0+\dfrac {4}{3}\times 1+\dfrac {1}{3}\times 4=\dfrac {8}{3}$，所以求积公式对于二次函数也是精确的。
步骤 5：验证求积公式对三次函数的精确度
对于三次函数$f(x)=x^3$，有${\int }_{0}^{2}x^3dx=4$，而$\dfrac {1}{3}f(0)+\dfrac {4}{3}f(1)+\dfrac {1}{3}f(2)=\dfrac {1}{3}\times 0+\dfrac {4}{3}\times 1+\dfrac {1}{3}\times 8=\dfrac {12}{3}=4$，所以求积公式对于三次函数也是精确的。
步骤 6：验证求积公式对四次函数的精确度
对于四次函数$f(x)=x^4$，有${\int }_{0}^{2}x^4dx=\dfrac {32}{5}$，而$\dfrac {1}{3}f(0)+\dfrac {4}{3}f(1)+\dfrac {1}{3}f(2)=\dfrac {1}{3}\times 0+\dfrac {4}{3}\times 1+\dfrac {1}{3}\times 16=\dfrac {20}{3}$，所以求积公式对于四次函数不是精确的。
代数精确度是指求积公式能够准确计算多项式函数的积分的最大次数。如果求积公式对于所有次数不超过n的多项式函数都能准确计算积分，但对某个n+1次多项式函数不能准确计算积分，则称该求积公式的代数精确度为n。
步骤 2：验证求积公式对常数函数的精确度
对于常数函数$f(x)=1$，有${\int }_{0}^{2}1dx=2$，而$\dfrac {1}{3}f(0)+\dfrac {4}{3}f(1)+\dfrac {1}{3}f(2)=\dfrac {1}{3}+\dfrac {4}{3}+\dfrac {1}{3}=2$，所以求积公式对于常数函数是精确的。
步骤 3：验证求积公式对一次函数的精确度
对于一次函数$f(x)=x$，有${\int }_{0}^{2}xdx=2$，而$\dfrac {1}{3}f(0)+\dfrac {4}{3}f(1)+\dfrac {1}{3}f(2)=\dfrac {1}{3}\times 0+\dfrac {4}{3}\times 1+\dfrac {1}{3}\times 2=2$，所以求积公式对于一次函数也是精确的。
步骤 4：验证求积公式对二次函数的精确度
对于二次函数$f(x)=x^2$，有${\int }_{0}^{2}x^2dx=\dfrac {8}{3}$，而$\dfrac {1}{3}f(0)+\dfrac {4}{3}f(1)+\dfrac {1}{3}f(2)=\dfrac {1}{3}\times 0+\dfrac {4}{3}\times 1+\dfrac {1}{3}\times 4=\dfrac {8}{3}$，所以求积公式对于二次函数也是精确的。
步骤 5：验证求积公式对三次函数的精确度
对于三次函数$f(x)=x^3$，有${\int }_{0}^{2}x^3dx=4$，而$\dfrac {1}{3}f(0)+\dfrac {4}{3}f(1)+\dfrac {1}{3}f(2)=\dfrac {1}{3}\times 0+\dfrac {4}{3}\times 1+\dfrac {1}{3}\times 8=\dfrac {12}{3}=4$，所以求积公式对于三次函数也是精确的。
步骤 6：验证求积公式对四次函数的精确度
对于四次函数$f(x)=x^4$，有${\int }_{0}^{2}x^4dx=\dfrac {32}{5}$，而$\dfrac {1}{3}f(0)+\dfrac {4}{3}f(1)+\dfrac {1}{3}f(2)=\dfrac {1}{3}\times 0+\dfrac {4}{3}\times 1+\dfrac {1}{3}\times 16=\dfrac {20}{3}$，所以求积公式对于四次函数不是精确的。