设L为上半圆周 y=sqrt(1-x^2)，方向为逆时针，则 int_(L)(x^2+y^2)dx+(x+2xy)dy=(）.A. (pi)/(2)B. -(2)/(3)C. (pi)/(2)-(2)/(3)D. (pi)/(2)+(2)/(3)

步骤 1：参数化曲线
将曲线 $L$ 参数化为 $x = \cos t$，$y = \sin t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $\pi$。则 $dx = -\sin t \, dt$，$dy = \cos t \, dt$。
步骤 2：代入曲线积分
代入曲线积分得： \[ \int_{0}^{\pi} \left[ (\cos^2 t + \sin^2 t)(-\sin t) + (\cos t + 2 \cos t \sin t) \cos t \right] \, dt = \int_{0}^{\pi} \left[ -\sin t + \cos^2 t + 2 \cos^2 t \sin t \right] \, dt. \]
步骤 3：拆分积分并计算
拆分积分并计算： \[ \int_{0}^{\pi} -\sin t \, dt = -2, \quad \int_{0}^{\pi} \cos^2 t \, dt = \frac{\pi}{2}, \quad \int_{0}^{\pi} 2 \cos^2 t \sin t \, dt = \frac{4}{3}. \]
步骤 4：相加得结果
相加得： \[ -2 + \frac{\pi}{2} + \frac{4}{3} = \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3}. \]
步骤 5：使用格林公式
或使用格林公式，添加x轴上从 $(-1,0)$ 到 $(1,0)$ 的路径，围成半圆。二重积分为半圆面积 $\frac{\pi}{2}$，x轴上积分为 $\frac{2}{3}$，故原积分为 $\frac{\pi}{2} - \frac{2}{3}$。