设L是螺旋线x=acos t,y=asin t,z=bt(0leq tleq 2pi)的一段，则弧长积分int_(L)(x^2+y^2+z^2),ds=A. (2)/(3)pi(3a^2+4pi^2b^2)sqrt(a^2)+b^(2)B. (1)/(3)pi(3a^2+4pi^2b^2)sqrt(a^2)+b^(2)C. (2)/(3)pi(4a^2+3pi^2b^2)sqrt(a^2)+b^(2)D. (1)/(3)pi(4a^2+3pi^2b^2)sqrt(a^2)+b^(2)

考查要点：本题主要考查对对弧长的曲线积分的计算方法，涉及参数方程表示的空间曲线积分转换为定积分的能力，以及代数运算的准确性。

解题核心思路：

1. 参数化曲线：利用螺旋线的参数方程，将曲线积分转化为关于参数$t$的定积分。
2. 计算弧长元素$ds$：通过参数方程的导数，求出$ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} dt$。
3. 代数化简：将被积函数$x^2 + y^2 + z^2$用参数$t$表示，并结合$ds$的表达式，转化为关于$t$的定积分。
4. 分部积分计算：分别计算多项式函数的定积分，最后合并结果。

破题关键点：

• 正确计算$ds$：注意参数方程的导数平方和为$a^2 + b^2$，从而$ds$为常数因子$\sqrt{a^2 + b^2} dt$。
• 被积函数的简化：利用三角恒等式$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$，将$x^2 + y^2$简化为$a^2$。
• 积分计算的准确性：特别注意$t^2$的积分结果为$\frac{t^3}{3}$，避免系数错误。

步骤1：参数方程与弧长元素
螺旋线的参数方程为：
$x = a \cos t, \quad y = a \sin t, \quad z = bt \quad (0 \leq t \leq 2\pi)$
计算弧长元素$ds$：
$\frac{dx}{dt} = -a \sin t, \quad \frac{dy}{dt} = a \cos t, \quad \frac{dz}{dt} = b$
$ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} dt = \sqrt{a^2 + b^2} \, dt$

步骤2：被积函数的表达式
将$x^2 + y^2 + z^2$用参数$t$表示：
$x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \cos^2 t + a^2 \sin^2 t + b^2 t^2 = a^2 (\cos^2 t + \sin^2 t) + b^2 t^2 = a^2 + b^2 t^2$

步骤3：转化为定积分
原积分转化为：
$\int_{L} (x^2 + y^2 + z^2) \, ds = \int_{0}^{2\pi} (a^2 + b^2 t^2) \cdot \sqrt{a^2 + b^2} \, dt = \sqrt{a^2 + b^2} \int_{0}^{2\pi} (a^2 + b^2 t^2) \, dt$

步骤4：分部计算定积分
拆分为两个积分：
$\int_{0}^{2\pi} a^2 \, dt = a^2 \cdot (2\pi - 0) = 2\pi a^2$
$\int_{0}^{2\pi} b^2 t^2 \, dt = b^2 \cdot \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{2\pi} = b^2 \cdot \frac{(2\pi)^3}{3} = \frac{8\pi^3 b^2}{3}$
合并结果：
$\sqrt{a^2 + b^2} \left( 2\pi a^2 + \frac{8\pi^3 b^2}{3} \right) = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \frac{2\pi}{3} \left( 3a^2 + 4\pi^2 b^2 \right)$

结论：最终结果与选项A一致。