题目

13.（仅数二数三）设函数f(x)具有二阶连续导数，曲线y=f(x)的图形既关于y轴对称，也关于直线x=1对称，则int_(-2)^2(x-2026)f'''(x)dx=____.

13.（仅数二数三）设函数f(x)具有二阶连续导数，曲线y=f(x)的图形既关于y轴对称，也关于直线x=1对称，则$\int_{-2}^{2}(x-2026)f'''(x)dx=$____.

题目解答

答案

由题意，函数 $f(x)$ 关于 $y$ 轴和直线 $x=1$ 对称，即 $f(x) = f(-x)$ 且 $f(x) = f(2-x)$。

  1. 导数的对称性：

    • $f'(x)$ 奇函数（关于 $y$ 轴），偶函数（关于 $x=1$）。
    • $f''(x)$ 偶函数（关于 $y$ 轴），偶函数（关于 $x=1$）。
    • $f'''(x)$ 奇函数（关于 $y$ 轴），奇函数（关于 $x=1$）。

  2. 积分计算：
    $\int_{-2}^{2} (x-2026)f'''(x) \, dx = \int_{-2}^{2} x f'''(x) \, dx - 2026 \int_{-2}^{2} f'''(x) \, dx$

    • $\int_{-2}^{2} f'''(x) \, dx = 0$（奇函数在对称区间积分）。
    • $\int_{-2}^{2} x f'''(x) \, dx$：
      $x f'''(x)$ 偶函数（奇函数乘奇函数），在对称区间积分等于两倍正半区间积分。
      $\int_{0}^{2} x f'''(x) \, dx = \left[ x f''(x) \right]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} f''(x) \, dx = 2 f''(2) - (f'(2) - f'(0))$
      由对称性，$f'(2) = -f'(0)$，$f''(2) = f''(0)$，且 $f'(0) = 0$，故积分值为0。

答案：$\boxed{0}$

解析

本题主要考查函数的对称性、导数的对称性以及定积分的计算。解题的关键在于利用函数的对称性得出导数的对称性，再结合定积分的性质和分部积分法进行计算。

  1. 分析函数$f(x)$的对称性及导数的对称性：
    • 已知函数$f(x)$的图形既关于$y$轴对称，也关于直线$x = 1$对称，根据函数对称性的定义可得$f(x)=f(-x)$且$f(x)=f(2 - x)$。
    • 对于$f^\prime(x)$：
      • 对$f(x)=f(-x)$两边求导，根据复合函数求导法则$(f(-x))^\prime=f^\prime(-x)\times(-1)$，可得$f^\prime(x)=-f^\prime(-x)$，所以$f^\prime(x)$是关于$y$轴的奇函数。
      • 对$f(x)=f(2 - x)$两边求导，根据复合函数求导法则$(f(2 - x))^\prime=f^\prime(2 - x)\times(-1)$，可得$f^\prime(x)=-f^\prime(2 - x)$，所以$f^\prime(x)$是关于直线$x = 1$的奇函数。
    • 对于$f^{\prime\prime}(x)$：
      • 对$f^\prime(x)=-f^\prime(-x)$两边求导，可得$f^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(-x)$，所以$f^{\prime\prime}(x)$是关于$y$轴的偶函数。
      • 对$f^\prime(x)=-f^\prime(2 - x)$两边求导，可得$f^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(2 - x)$，所以$f^{\prime\prime}(x)$是关于直线$x = 1$的偶函数。
    • 对于$f^{\prime\prime\prime}(x)$：
      • 对$f^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(-x)$两边求导，可得$f^{\prime\prime\prime}(x)=-f^{\prime\prime\prime}(-x)$，所以$f^{\prime\prime\prime}(x)$是关于$y$轴的奇函数。
      • 对$f^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(2 - x)$两边求导，可得$f^{\prime\prime\prime}(x)=-f^{\prime\prime\prime}(2 - x)$，所以$f^{\prime\prime\prime}(x)$是关于直线$x = 1$的奇函数。
  2. 将原积分拆分为两个积分：
    • 根据积分的性质$\int_{-2}^{2}(x - 2026)f^{\prime\prime\prime}(x)dx=\int_{-2}^{2}xf^{\prime\prime\prime}(x)dx-2026\int_{-2}^{2}f^{\prime\prime\prime}(x)dx$。
  3. 计算$\int_{-2}^{2}f^{\prime\prime\prime}(x)dx$：
    • 因为$f^{\prime\prime\prime}(x)$是关于$y$轴的奇函数，根据奇函数在对称区间上的积分性质，可得$\int_{-2}^{2}f^{\prime\prime\prime}(x)dx = 0$。
  4. 计算$\int_{-2}^{2}xf^{\prime\prime\prime}(x)dx$：
    • 由于$x$是奇函数，$f^{\prime\prime\prime}(x)$也是奇函数，根据奇函数乘奇函数为偶函数的性质，可知$xf^{\prime\prime\prime}(x)$是偶函数。
    • 再根据偶函数在对称区间上的积分性质$\int_{-2}^{2}xf^{\prime\prime\prime}(x)dx = 2\int_{0}^{2}xf^{\prime\prime\prime}(x)dx$。
    • 对$\int_{0}^{2}xf^{\prime\prime\prime}(x)dx$使用分部积分法，设$u = x$，$dv = f^{\prime\prime\prime}(x)dx$，则$du = dx$，$v = f^{\prime\prime}(x)$。
    • 根据分部积分公式$\int_{a}^{b}u\mathrm{d}v=uv|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\mathrm{d}u$，可得$\int_{0}^{2}xf^{\prime\prime\prime}(x)dx=\left[xf^{\prime\prime}(x)\right]_{0}^{2}-\int_{0}^{2}f^{\prime\prime}(x)dx$。
    • 计算$\left[xf^{\prime\prime}(x)\right]_{0}^{2}=2f^{\prime\prime}(2)-0\times f^{\prime\prime}(0)=2f^{\prime\prime}(2)$，$\int_{0}^{2}f^{\prime\prime}(x)dx=f^\prime(2)-f^\prime(0)$，所以$\int_{0}^{2}xf^{\prime\prime\prime}(x)dx = 2f^{\prime\prime}(2)-(f^\prime(2)-f^\prime(0))$。
    • 由$f^\prime(x)$关于$y$轴对称可知$f^\prime(0)=0$，由$f^\prime(x)$关于直线$x = 1$对称可得$f^\prime(2)=-f^\prime(0)=0$，又因为$f^{\prime\prime}(x)$关于直线$x = 1$对称，所以$f^{\prime\prime}(2)=f^{\prime\prime}(0)$，则$\int_{0}^{2}xf^{\prime\prime\prime}(x)dx = 2f^{\prime\prime}(2)-(0 - 0)=0$，那么$\int_{-2}^{2}xf^{\prime\prime\prime}(x)dx = 2\times0 = 0$。
  5. 计算原积分的值：
    • 将$\int_{-2}^{2}f^{\prime\prime\prime}(x)dx = 0$和$\int_{-2}^{2}xf^{\prime\prime\prime}(x)dx = 0$代入$\int_{-2}^{2}(x - 2026)f^{\prime\prime\prime}(x)dx=\int_{-2}^{2}xf^{\prime\prime\prime}(x)dx-2026\int_{-2}^{2}f^{\prime\prime\prime}(x)dx$，可得$\int_{-2}^{2}(x - 2026)f^{\prime\prime\prime}(x)dx=0 - 2026\times0 = 0$。