题目
某衣帽厂有甲、乙、丙三个工作间生产同一种衣服，已知各个工作间的产量分别占全厂产量的25%、35%、40%，甲、乙、丙工作间的次品率为5%、4%、2%，现在从衣帽厂中检查出一个次品，是由甲工作间生产的概率是多少。设A、B、C为甲、乙、丙生产的商品，D表示次品 P(A)=25%，P(B)=35%，P(C)=40% P(D|A.)= P(D|B.)=______P(D|C.)= P(A|D.)=______
某衣帽厂有甲、乙、丙三个工作间生产同一种衣服，已知各个工作间的产量分别占全厂产量的25%、35%、40%，甲、乙、丙工作间的次品率为5%、4%、2%，现在从衣帽厂中检查出一个次品，是由甲工作间生产的概率是多少。设A、B、C为甲、乙、丙生产的商品，D表示次品 P(A)=25%，P(B)=35%，P(C)=40% P(D|
A.)= P(D|
B.)=______P(D|
C.)= P(A|
D.)=______
A.)= P(D|
B.)=______P(D|
C.)= P(A|
D.)=______
题目解答
答案
已知条件：
- $P(A) = 0.25$，$P(B) = 0.35$，$P(C) = 0.40$
- $P(D|A) = 0.05$，$P(D|B) = 0.04$，$P(D|C) = 0.02$
计算全厂次品率 $P(D)$：
\[
P(D) = 0.05 \times 0.25 + 0.04 \times 0.35 + 0.02 \times 0.40 = 0.0345
\]
应用贝叶斯定理求 $P(A|D)$：
\[
P(A|D) = \frac{P(D|A)P(A)}{P(D)} = \frac{0.05 \times 0.25}{0.0345} = \frac{25}{69}
\]
答案：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
P(D|A) = 0.05, \\
P(D|B) = 0.04, \\
P(D|C) = 0.02, \\
P(A|D) = \frac{25}{69}.
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查条件概率和贝叶斯定理的应用，需要结合全概率公式进行计算。
解题核心思路：
- 全概率公式计算全厂次品率$P(D)$；
- 贝叶斯定理计算后验概率$P(A|D)$，即次品来自甲车间的概率。
破题关键点：
- 明确题目中给出的先验概率（各车间产量占比）和条件概率（各车间次品率）；
- 正确应用全概率公式和贝叶斯定理的公式结构。
步骤1：计算全厂次品率$P(D)$
根据全概率公式：
$P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C)$
代入已知数据：
$P(D) = 0.05 \times 0.25 + 0.04 \times 0.35 + 0.02 \times 0.40 = 0.0345$
步骤2：应用贝叶斯定理求$P(A|D)$
根据贝叶斯定理：
$P(A|D) = \frac{P(D|A)P(A)}{P(D)} = \frac{0.05 \times 0.25}{0.0345} = \frac{25}{69}$