设随机变量X和Y具有联合概率密度 [ f(x, y)= } 6, & x^2 leq y leq x 0, & (其它) ] 则,下列说法正确的是() A 0 leq x leq 1时, f_x(x)= 6(x - x^2) B 0 leq y leq 1时, f_y(y)= 6(y - sqrt(y)) C 0 leq x leq 1时, f_x(x)= 6(x^2 - x) D y leq 0且y > 1时, f_y(y)= 6(sqrt(y) - y)

为了确定关于随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度 $f(x, y)$ 的正确说法，我们需要找到边际密度函数 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$。 联合概率密度函数由下式给出： \[ f(x, y) = \begin{cases} 6, & \text{如果 } x^2 \leq y \leq x \\ 0, & \text{其他情况} \end{cases} \] ### 第一步：找到边际密度函数 $f_X(x)$ 边际密度函数 $f_X(x)$ 通过关于 $y$ 积分联合密度函数得到： \[ f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dy \] 给定 $f(x, y) = 6$ 对于 $x^2 \leq y \leq x$，我们从 $y = x^2$ 积分到 $y = x$： \[ f_X(x) = \int_{x^2}^{x} 6 \, dy \] 计算积分： \[ f_X(x) = 6 \left[ y \right]_{x^2}^{x} = 6 \left( x - x^2 \right) \] 这个结果在 $0 \leq x \leq 1$ 时有效，因为 $x^2 \leq x$ 对于 $0 \leq x \leq 1$ 成立。 因此，边际密度函数 $f_X(x)$ 为： \[ f_X(x) = \begin{cases} 6(x - x^2), & \text{如果 } 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{其他情况} \end{cases} \] 这与选项 A 相匹配。 ### 第二步：找到边际密度函数 $f_Y(y)$ 边际密度函数 $f_Y(y)$ 通过关于 $x$ 积分联合密度函数得到： \[ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dx \] 给定 $f(x, y) = 6$ 对于 $x^2 \leq y \leq x$，我们从 $x = y$ 积分到 $x = \sqrt{y}$： \[ f_Y(y) = \int_{y}^{\sqrt{y}} 6 \, dx \] 计算积分： \[ f_Y(y) = 6 \left[ x \right]_{y}^{\sqrt{y}} = 6 \left( \sqrt{y} - y \right) \] 这个结果在 $0 \leq y \leq 1$ 时有效，因为 $y \leq \sqrt{y}$ 对于 $0 \leq y \leq 1$ 成立。 因此，边际密度函数 $f_Y(y)$ 为： \[ f_Y(y) = \begin{cases} 6(\sqrt{y} - y), & \text{如果 } 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & \text{其他情况} \end{cases} \] 这与选项 B 相匹配。 ### 结论 正确说法是： - 选项 A: $0 \leq x \leq 1$ 时，$f_X(x) = 6(x - x^2)$ - 选项 B: $0 \leq y \leq 1$ 时，$f_Y(y) = 6(\sqrt{y} - y)$ 然而，由于问题要求一个正确说法，且选项 A 被框定，我们假设问题的意图是找到一个正确说法。因此，正确答案是： \[ \boxed{A} \]