4.不用计算,验证下列积分之值为零,其中C均为单位圆周 |z|=1.-|||-(1) (int )_(c)^dzdfrac (dz)(cos z);-|||-(2) (int )_(c)dfrac (dz)({z)^2+2z+2};-|||-(3) (int )_(c)dfrac ({e)^2dz}({z)^2+5z+6};-|||-(4) (int )_(c)^zcos (z)^2dz.

考查要点：本题主要考查复变函数中的柯西积分定理的应用，即判断被积函数在积分路径及其内部是否解析。

解题核心思路：

1. 确定被积函数的奇点位置，即分母为零的点或函数不解析的点。
2. 判断奇点是否在单位圆$|z|=1$内部。若所有奇点均在单位圆外，则被积函数在积分区域内部解析。
3. 直接应用柯西积分定理，得出积分值为零。

破题关键点：

• 正确分解分母或化简被积函数，找到所有奇点。
• 计算奇点模长，判断是否满足$|z| \leq 1$。
• 确认被积函数在积分区域内解析，排除奇点干扰。

(1) $\displaystyle \int_{C} \dfrac{dz}{\cos z}$

奇点分析：$\cos z = 0$的解为$z = \pm \dfrac{\pi}{2} + k\pi$（$k$为整数）。
关键判断：距离原点最近的奇点为$z = \pm \dfrac{\pi}{2}$，其模长$\dfrac{\pi}{2} \approx 1.57 > 1$，故在单位圆外。
结论：$\dfrac{1}{\cos z}$在$|z| \leq 1$内解析，积分值为$0$。

(2) $\displaystyle \int_{C} \dfrac{dz}{z^{2} + 2z + 2}$

分母分解：$z^{2} + 2z + 2 = (z+1)^2 + 1$，奇点为$z = -1 \pm i$。
关键判断：奇点$z = -1 + i$的模长为$\sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.414 > 1$，在单位圆外。
结论：被积函数在$|z| \leq 1$内解析，积分值为$0$。

(3) $\displaystyle \int_{C} \dfrac{e^{2} \, dz}{z^{2} + 5z + 6}$

分母分解：$z^{2} + 5z + 6 = (z+2)(z+3)$，奇点为$z = -2$和$z = -3$。
关键判断：两奇点的模长分别为$2$和$3$，均大于$1$，在单位圆外。
结论：被积函数在$|z| \leq 1$内解析，积分值为$0$。

(4) $\displaystyle \int_{C} z \cos^{2} z \, dz$

解析性判断：$\cos^{2} z$在复数域处处解析，乘以$z$后仍保持解析性。
结论：被积函数$z \cos^{2} z$在$|z| \leq 1$内解析，积分值为$0$。