求下列极限： (1) lim _(xarrow a)dfrac (x)(x-a)(int )_(a)^xf(t)dt, 其中f(x)连续; (1) lim _(xarrow a)dfrac (x)(x-a)(int )_(a)^xf(t)dt, 其中f(x)连续;

考查要点

1. 第（1）题：考查洛必达法则的应用，以及积分中值定理的理解。关键在于识别极限形式为$\frac{0}{0}$型未定式，并正确求导分子和分母。
2. 第（2）题：考查洛必达法则处理$\frac{\infty}{\infty}$型未定式的能力，以及对积分增长趋势的分析。

解题核心思路

• 第（1）题：通过构造辅助函数或直接应用洛必达法则，将积分与代数表达式结合求导，简化极限计算。
• 第（2）题：通过分析分子积分和分母的增长速率，利用洛必达法则将积分转化为函数表达式求极限。

第（1）题

识别未定式类型

当$x \rightarrow a$时，分子$\int_{a}^{x} f(t)dt \rightarrow 0$，分母$x - a \rightarrow 0$，因此极限为$\frac{0}{0}$型未定式，可应用洛必达法则。

应用洛必达法则

设分子为$F(x) = x \int_{a}^{x} f(t)dt$，分母为$G(x) = x - a$，则：
$\lim_{x \rightarrow a} \frac{F(x)}{G(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{F'(x)}{G'(x)}.$

求导分子和分母

• 分子导数：
  $F'(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt + x \cdot f(x) \quad (\text{乘积法则}).$
• 分母导数：
  $G'(x) = 1.$

代入极限

当$x \rightarrow a$时，$\int_{a}^{x} f(t)dt \rightarrow 0$，因此：
$\lim_{x \rightarrow a} \left[ \int_{a}^{x} f(t)dt + x \cdot f(x) \right] = a \cdot f(a).$

第（2）题

识别未定式类型

当$x \rightarrow +\infty$时，分子$\int_{0}^{x} (\arctan t)^2 dt \rightarrow +\infty$，分母$\sqrt{x^2 + 1} \rightarrow +\infty$，因此极限为$\frac{\infty}{\infty}$型未定式，可应用洛必达法则。

应用洛必达法则

设分子为$F(x) = \int_{0}^{x} (\arctan t)^2 dt$，分母为$G(x) = \sqrt{x^2 + 1}$，则：
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{F(x)}{G(x)} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{F'(x)}{G'(x)}.$

求导分子和分母

• 分子导数：
  $F'(x) = (\arctan x)^2 \quad (\text{微积分基本定理}).$
• 分母导数：
  $G'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}.$

化简极限

当$x \rightarrow +\infty$时，$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \rightarrow 1$，因此：
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{(\arctan x)^2}{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} (\arctan x)^2 = \left( \frac{\pi}{2} \right)^2.$