题目

已知a11 a12 a13-|||-a21 a22 a23-|||-a31 a32 a33，求a11 a12 a13-|||-a21 a22 a23-|||-a31 a32 a33

已知 $\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{vmatrix}=3$ ，求 $\begin{vmatrix} a_{11}&-2a_{31}+5a_{21}&3a_{21}\\ a_{12}&-2a_{32}+5a_{22}&3a_{22}\\ a_{13}&-2a_{33}+5a_{23}&3a_{23}\\ \end{vmatrix}$

题目解答

答案

解：令 $|A|=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{vmatrix}=3$

根据行列式的可拆性，把第二列拆开得， $\begin{vmatrix} a_{11}&-2a_{31}+5a_{21}&3a_{21}\\ a_{12}&-2a_{32}+5a_{22}&3a_{22}\\ a_{13}&-2a_{33}+5a_{23}&3a_{23}\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}&-2a_{31}&3a_{21}\\ a_{12}&-2a_{32}&3a_{22}\\ a_{13}&-2a_{33}&3a_{23}\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11}&5a_{21}&3a_{21}\\ a_{12}&5a_{22}&3a_{22}\\ a_{13}&5a_{23}&3a_{23}\\ \end{vmatrix}$

化简第一个行列式

首先第二列提出 $-2$ 得 $\begin{vmatrix} a_{11}&-2a_{31}&3a_{21}\\ a_{12}&-2a_{32}&3a_{22}\\ a_{13}&-2a_{33}&3a_{23}\\ \end{vmatrix}=-2\cdot\begin{vmatrix} a_{11}&a_{31}&3a_{21}\\ a_{12}&a_{32}&3a_{22}\\ a_{13}&a_{33}&3a_{23}\\ \end{vmatrix}$

再第二列提出 $3$ 得 $-2\cdot3\cdot\begin{vmatrix} a_{11}&a_{31}&a_{21}\\ a_{12}&a_{32}&a_{22}\\ a_{13}&a_{33}&a_{23}\\ \end{vmatrix}=-6\begin{vmatrix} a_{11}&a_{31}&a_{21}\\ a_{12}&a_{32}&a_{22}\\ a_{13}&a_{33}&a_{23}\\ \end{vmatrix}$

交换二三列得

$6\begin{vmatrix} a_{11}&a_{21}&a_{31}\\ a_{12}&a_{22}&a_{32}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\\ \end{vmatrix}=6|A^T|=6|A|=6\cdot3=18$

对于第二个行列式

$\begin{vmatrix} a_{11}&5a_{21}&3a_{21}\\ a_{12}&5a_{22}&3a_{22}\\ a_{13}&5a_{23}&3a_{23}\\ \end{vmatrix}$ 其中第二列与第三列成比例，故 $\begin{vmatrix} a_{11}&5a_{21}&3a_{21}\\ a_{12}&5a_{22}&3a_{22}\\ a_{13}&5a_{23}&3a_{23}\\ \end{vmatrix}=0$

综上所述， $\begin{vmatrix} a_{11}&-2a_{31}+5a_{21}&3a_{21}\\ a_{12}&-2a_{32}+5a_{22}&3a_{22}\\ a_{13}&-2a_{33}+5a_{23}&3a_{23}\\ \end{vmatrix}=18+0=18$

解析

步骤 1：定义变量
令
步骤 2：应用行列式的可拆性
根据行列式的可拆性，把第二列拆开得，
步骤 3：化简第一个行列式
首先第二列提出,-得
再第二列提出得
交换二三列得
步骤 4：化简第二个行列式
其中第二列与第三列成比例，故
步骤 5：综合结果
综上所述，