12.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)^2-1,g(x)=cosx+2ax,当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=（ ）A. -1B. (1)/(2)C. 1D. 2

考查要点：本题主要考查函数交点问题的转化与分析，涉及偶函数性质、导数应用及函数零点存在性定理。

解题核心思路：

1. 构造差函数：将问题转化为方程$f(x) - g(x) = 0$的解的个数问题。
2. 利用偶函数性质：通过分析差函数的对称性，确定唯一解的位置。
3. 导数分析单调性：验证解的唯一性，确保区间内无其他零点。

破题关键点：

• 偶函数性质：若差函数为偶函数，则非零解必成对出现，唯一解只能在$x=0$处。
• 代入验证：通过$x=0$处的函数值确定参数$a$，再结合导数分析单调性，确认解的唯一性。

构造差函数

设$h(x) = f(x) - g(x) = a(x+1)^2 - 1 - (\cos x + 2ax)$，化简得：
$h(x) = ax^2 + a - 1 - \cos x$

分析偶函数性质

$h(x)$为偶函数（$h(-x) = h(x)$），因此若在$(-1,1)$内存在零点，则非零零点必成对出现。唯一解只能是$x=0$。

代入$x=0$求参数

令$h(0) = 0$，代入得：
$a - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 2$

验证唯一性

当$a=2$时，$h(x) = 2x^2 + 1 - \cos x$，求导得：
$h'(x) = 4x + \sin x$

• 在$(-1,0)$时：$h'(x) < 0$，$h(x)$单调递减，且$h(-1) > 0$，$h(0) = 0$，无其他零点。
• 在$(0,1)$时：$h'(x) > 0$，$h(x)$单调递增，且$h(1) > 0$，$h(0) = 0$，无其他零点。

综上，当$a=2$时，$h(x)$在$(-1,1)$内仅$x=0$为零点，满足题意。