题目
设A. B 为 n 阶对称阵且 B 可逆 , 则下列矩阵中为对称阵的是 () A. AB−1−B−1A B. AB−1+B−1A C. B−1AB D. (AB)2
设A.
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
A选项：（AB
-1-B
-1A）'=（AB
-1）'-（B
-1A）'=B
-1'A-A'B
-1'=B
-1A-AB
-1≠AB
-1-B
-1A∴A选项错误．
B选项：（AB -1+B -1A）'=（AB -1）'+（B -1A）'=B -1'A+A'B -1'=B -1A+AB -1=AB -1+B -1A∴B选项正确．
C选项：（B -1AB）'=B'A'B -1'=BAB -1≠B -1AB∴C选项错误．
D选项：（（AB） 2）'=（ABAB）'=B'A'B'A'=BABA=（BA） 2≠（AB） 2 ∴D选项错误．
故答案选：B
B选项：（AB -1+B -1A）'=（AB -1）'+（B -1A）'=B -1'A+A'B -1'=B -1A+AB -1=AB -1+B -1A∴B选项正确．
C选项：（B -1AB）'=B'A'B -1'=BAB -1≠B -1AB∴C选项错误．
D选项：（（AB） 2）'=（ABAB）'=B'A'B'A'=BABA=（BA） 2≠（AB） 2 ∴D选项错误．
故答案选：B
解析
步骤 1：对称阵的定义
对称阵是指一个矩阵等于其转置矩阵，即 A = A'。其中，A' 表示矩阵 A 的转置。
步骤 2：验证选项 A
（AB ^{-1}-B ^{-1}A）'=（AB ^{-1}）'-（B ^{-1}A）'=B ^{-1}'A-A'B ^{-1}'=B ^{-1}A-AB ^{-1}≠AB ^{-1}-B ^{-1}A
因此，选项 A 不是对称阵。
步骤 3：验证选项 B
（AB ^{-1}+B ^{-1}A）'=（AB ^{-1}）'+（B ^{-1}A）'=B ^{-1}'A+A'B ^{-1}'=B ^{-1}A+AB ^{-1}=AB ^{-1}+B ^{-1}A
因此，选项 B 是对称阵。
步骤 4：验证选项 C
（B ^{-1}AB）'=B'A'B ^{-1}'=BAB ^{-1}≠B ^{-1}AB
因此，选项 C 不是对称阵。
步骤 5：验证选项 D
（（AB） ^{2}）'=（ABAB）'=B'A'B'A'=BABA=（BA） ^{2}≠（AB） ^{2}
因此，选项 D 不是对称阵。
对称阵是指一个矩阵等于其转置矩阵，即 A = A'。其中，A' 表示矩阵 A 的转置。
步骤 2：验证选项 A
（AB ^{-1}-B ^{-1}A）'=（AB ^{-1}）'-（B ^{-1}A）'=B ^{-1}'A-A'B ^{-1}'=B ^{-1}A-AB ^{-1}≠AB ^{-1}-B ^{-1}A
因此，选项 A 不是对称阵。
步骤 3：验证选项 B
（AB ^{-1}+B ^{-1}A）'=（AB ^{-1}）'+（B ^{-1}A）'=B ^{-1}'A+A'B ^{-1}'=B ^{-1}A+AB ^{-1}=AB ^{-1}+B ^{-1}A
因此，选项 B 是对称阵。
步骤 4：验证选项 C
（B ^{-1}AB）'=B'A'B ^{-1}'=BAB ^{-1}≠B ^{-1}AB
因此，选项 C 不是对称阵。
步骤 5：验证选项 D
（（AB） ^{2}）'=（ABAB）'=B'A'B'A'=BABA=（BA） ^{2}≠（AB） ^{2}
因此，选项 D 不是对称阵。